Cho hình nón có bán kính đáy \(OA = 6cm\) và chiều cao \(SO = 8cm\). Cắt hình nón đã cho bởi bởi một mặt phẳng song song với trục \(SO\) và cách trục \(SO\) một khoảng bằng \(3cm\) ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh \(S\) bằng bao nhiêu \(c{m^3}\)? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục).

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm được chia thành:

  • 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

  • 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là \(\frac{{40}}{4} = 10\) cm.

Đặt:

  • \(AH = KD = x\),

  • chiều cao phần thân là \(HK = 40 - 2x\).

Khi đó:

  • phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh \(10\), cao \(40 - 2x\);

  • mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh \(10\).

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng \(x\), nên chiều cao chóp là

\(h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 25} \).

Thể tích đèn lồng: \(V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25} \)

\( = 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25} \).

Lấy đạo hàm: \(V'(x) =  - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}\).

Cho \(V'(x) = 0\):

\( - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25} \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} = 225\)\( \Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}\).

Thay vào \(V(x)\):

\({V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057,19\).

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3  \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6  \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 6  = 288\sqrt {18}  = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).