Xét một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một cục đá có dạng hình cầu được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\), cục đá nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên cục đá, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\). Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với cục đá và \(I\) là tâm cục đá (hình vẽ minh họa). 

Chọn a) Sai | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'}}{y} = k\)

\( \Leftrightarrow \int {\frac{{y'}}{y}{\rm{d}}t = \int {k{\rm{ d}}t} } \)\( \Leftrightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}y}}{y} = k\int {{\rm{d}}t} }  \Leftrightarrow \ln y\left( t \right) = kt + C\)

\( \Rightarrow y\left( t \right) = {{\rm{e}}^{kt + C}}\).

Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).

Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).

Suy ra \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).

Tại \(t = 15\), ta có \(y\left( {15} \right) = T\left( {15} \right) - 20 = 50 - 20 = 30\).

Suy ra \(30 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k =  - \frac{1}{{15}} \cdot \ln 2\)

Do đó \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\).

Chọn SAI.

b) Ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\) suy ra \(T\left( t \right) = y\left( t \right) + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}} + 20\).

\( \Rightarrow T\left( {30} \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot 30}} + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - 2\ln 2}} + 20 = 60 \cdot {2^{ - 2}} + 20 = 35\).

Chọn SAI.

c) Theo trên, ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).

Chọn ĐÚNG.

d) Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).

Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).

Chọn ĐÚNG.

Đáp án: 37

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} = 64\)

Phương trình nửa trên đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):y = \sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 144\)

Phương trình nửa dưới đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):y = 12 - \sqrt {144 - {x^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_3}} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)

Phương trình nửa trên đường tròn \(\left( {{C_3}} \right):y = 4 + \sqrt {16 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_4}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 64\)

Phương trình nửa dưới đường tròn \(\left( {{C_4}} \right):y = 12 - \sqrt {64 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích

\(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3}\\ = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}}  - 12 + \sqrt {144 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_4^8 {\left( {\sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}}  - 4 - \sqrt {16 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} } \right){\rm{d}}x} \\ + \int\limits_4^{12} {\left( {12 - \sqrt {64 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}  - 12 + \sqrt {144 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x}  \approx 37\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)