Một cốc cà phê nóng có nhiệt độ ban đầu là \(80^\circ C\) được đặt trong một phòng có nhiệt độ ổn định là \(20^\circ C\). Sau \(15\) phút, nhiệt độ của cốc cà phê giảm xuống còn \(50^\circ C\)(hình vẽ minh họa). Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của cốc cà phê tại thời điểm \(t\) (phút) và \(y\left( t \right) = T\left( t \right) - 20\) là chênh lệch nhiệt độ giữa cà phê và môi trường. Biết rằng tốc độ thay đổi chênh lệch nhiệt độ tỉ lệ thuận với chính nó, tức là \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right)\) (với \(k\) là hằng số). 

Gọi các biến cố khi chuyển 2 bi từ hộp X sang hộp Y:

·         \[{A_1}\]: Chuyển 2 bi đen. \[P({A_1}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\]

·         \[{A_2}\]: Chuyển 1 bi đen, 1 bi trắng. \[P({A_2}) = \frac{{C_5^1 \cdot C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{25}}{{45}} = \frac{5}{9}\]

·        \[{A_3}\]: Chuyển 2 bi trắng. \[P({A_3}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\]

Sau khi chuyển, hộp Y có tổng cộng 14 + 2 = 16 viên bi.

Câu d)

Xác suất lấy được 2 viên bi trắng từ hộp X là: \[P({A_3}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\] => Phát biểu d) Sai

Câu b)

Gọi B là biến cố lấy được 3 bi đen từ hộp Y.

·         Nếu \[{A_1}\] xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. \[P(B|{A_1}) = \frac{{C_8^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{56}}{{560}} = \frac{1}{{10}}\]

·         Nếu \[{A_2}\] xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. \[P(B|{A_2}) = \frac{{C_7^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{35}}{{560}} = \frac{1}{{16}}\]

·         Nếu \[{A_3}\] xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. \[P(B|{A_3}) = \frac{{C_6^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{20}}{{560}} = \frac{1}{{28}}\]

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

\[P(B) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{10}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{28}} = \frac{1}{{45}} + \frac{5}{{144}} + \frac{1}{{126}} = \frac{{109}}{{1680}}\] => Phát biểu b) Đúng.

Câu c)

Gọi C là biến cố lấy được 2 bi đen, 1 bi trắng từ hộp Y.

·         Nếu \[{A_1}\] xảy ra (Y có 8Đ, 8T): \[P(C|{A_1}) = \frac{{C_8^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{28 \cdot 8}}{{560}} = \frac{{224}}{{560}} = \frac{2}{5}\]

·         Nếu \[{A_2}\] xảy ra (Y có 7Đ, 9T): \[P(C|{A_2}) = \frac{{C_7^2 \cdot C_9^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{21 \cdot 9}}{{560}} = \frac{{189}}{{560}}\]

Nếu \[{A_3}\] xảy ra (Y có 6Đ, 10T): \[P(C|{A_3}) = \frac{{C_6^2 \cdot C_{10}^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{560}} = \frac{{150}}{{560}} = \frac{{15}}{{56}}\]

Xác suất đầy đủ của C:

\[P(C) = \frac{2}{9} \cdot \frac{{224}}{{560}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{{189}}{{560}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{{150}}{{560}} = \frac{{448 + 945 + 300}}{{9 \cdot 560}} = \frac{{1693}}{{5040}}\]=> Phát biểu c) Đúng.

Câu a)

Gọi D là biến cố: “H lấy được 2 viên bi đen trong hộp Y là 2 bi đen từ hộp X chuyển qua”.

\[P\left( {CD} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P(BC|{A_1}) = \frac{2}{9}.\frac{{C_2^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{1}{{315}}\]

\[P(D|C) = \frac{{P\left( {CD} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{{315}}}}{{\frac{{1693}}{{5040}}}} = \frac{{16}}{{1693}}\].

 => Phát biểu a) Sai.

a) Sai

Từ phương trình mặt cầu, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MI}  = \left( {4\,;\,0\,;\, - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = \left( { - 3\,;\, - 6\,;\, - 12} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

b) Đúng

Để thời gian con kiến bò là ngắn nhất, quãng đường đi từ \(A\) đến \(B\) trên bề mặt cục đá phải là cung nhỏ \(AB\) của đường tròn lớn đi qua \(A\) và \(B\).

Bán kính đường tròn lớn là bán kính mặt cầu: \[R = \sqrt 6 \,{\rm{dm}} = 10\sqrt 6 \,{\rm{cm}}\].

Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\) tính bằng radian là; \(\alpha  = \arccos \left( { - \frac{1}{9}} \right) \approx 1,682\) (rad).

Độ dài quãng đường ngắn nhất là độ dài cung \(AB\) là:

\(S = R\,.\,\alpha  = 10\sqrt 6 \,.\,1,682 \approx 41,204{\rm{ (cm)}}\)

Thời gian ngắn nhất để con kiến hoàn thành chuyến đi là:

\(t = \frac{S}{v} = \frac{{41,204}}{2} \approx 21{\rm{ (gi\^a y)}}\).

c) Đúng

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của mặt sàn và tấm ván.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\) hay \(H \in d\).

Mà \(A\), \(B\) là các tiếp điểm của tấm ván và mặt sàn với mặt cầu.

\( \Rightarrow HA \bot IA\), \(HB \bot IB\).

Do đó, \(HA\), \(HB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(H\).

\( \Rightarrow \widehat {AIH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).

Ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIB} = \cos \left( {2\widehat {AIH}} \right) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 = 2\,.\,{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{9}\).

Vậy \(a =  - 1\), \(b = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {9^2} = 82\).

d) Đúng