Một cốc cà phê nóng có nhiệt độ ban đầu là \(80^\circ C\) được đặt trong một phòng có nhiệt độ ổn định là \(20^\circ C\). Sau \(15\) phút, nhiệt độ của cốc cà phê giảm xuống còn \(50^\circ C\)(hình vẽ minh họa). Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của cốc cà phê tại thời điểm \(t\) (phút) và \(y\left( t \right) = T\left( t \right) - 20\) là chênh lệch nhiệt độ giữa cà phê và môi trường. Biết rằng tốc độ thay đổi chênh lệch nhiệt độ tỉ lệ thuận với chính nó, tức là \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right)\) (với \(k\) là hằng số). 

a) Sai

Từ phương trình mặt cầu, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MI}  = \left( {4\,;\,0\,;\, - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = \left( { - 3\,;\, - 6\,;\, - 12} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

b) Đúng

Để thời gian con kiến bò là ngắn nhất, quãng đường đi từ \(A\) đến \(B\) trên bề mặt cục đá phải là cung nhỏ \(AB\) của đường tròn lớn đi qua \(A\) và \(B\).

Bán kính đường tròn lớn là bán kính mặt cầu: \[R = \sqrt 6 \,{\rm{dm}} = 10\sqrt 6 \,{\rm{cm}}\].

Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\) tính bằng radian là; \(\alpha  = \arccos \left( { - \frac{1}{9}} \right) \approx 1,682\) (rad).

Độ dài quãng đường ngắn nhất là độ dài cung \(AB\) là:

\(S = R\,.\,\alpha  = 10\sqrt 6 \,.\,1,682 \approx 41,204{\rm{ (cm)}}\)

Thời gian ngắn nhất để con kiến hoàn thành chuyến đi là:

\(t = \frac{S}{v} = \frac{{41,204}}{2} \approx 21{\rm{ (gi\^a y)}}\).

c) Đúng

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của mặt sàn và tấm ván.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\) hay \(H \in d\).

Mà \(A\), \(B\) là các tiếp điểm của tấm ván và mặt sàn với mặt cầu.

\( \Rightarrow HA \bot IA\), \(HB \bot IB\).

Do đó, \(HA\), \(HB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(H\).

\( \Rightarrow \widehat {AIH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).

Ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIB} = \cos \left( {2\widehat {AIH}} \right) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 = 2\,.\,{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{9}\).

Vậy \(a =  - 1\), \(b = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {9^2} = 82\).

d) Đúng

Đáp án: 37

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} = 64\)

Phương trình nửa trên đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):y = \sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 144\)

Phương trình nửa dưới đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):y = 12 - \sqrt {144 - {x^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_3}} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)

Phương trình nửa trên đường tròn \(\left( {{C_3}} \right):y = 4 + \sqrt {16 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} \)

Phương trình đường tròn \(\left( {{C_4}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 64\)

Phương trình nửa dưới đường tròn \(\left( {{C_4}} \right):y = 12 - \sqrt {64 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích

\(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3}\\ = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}}  - 12 + \sqrt {144 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_4^8 {\left( {\sqrt {64 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}}  - 4 - \sqrt {16 - {{\left( {x - 8} \right)}^2}} } \right){\rm{d}}x} \\ + \int\limits_4^{12} {\left( {12 - \sqrt {64 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}  - 12 + \sqrt {144 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x}  \approx 37\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)