Trong đợt đi học tập trải nghiệm năm 2022, trường Khai Nguyên tổ chức cho các em tham quan vườn trái cây ở xã Lê Minh Xuân, Bình Chánh. Sau khi tham quan, nhà trường thấy trái cây ở đây tươi và giá khá rẻ so với thị trường, nên nhà trường đã quyết định mua một số dừa và dưa lưới với tổng số lượng cả hai loại là 150 trái. Giá tiền của mỗi trái dừa là \(5\,\,000\) đồng, và mỗi trái dưa lưới là \(40\,\,000\) đồng. Sau khi tính toán, số tiền mà nhà trường phải trả cho chủ vườn là \(3\,\,200\,\,000\) đồng. Tính số lượng dưa lưới và số lượng trái dừa mà nhà trường đã mua.

a) • Đường thẳng \(d:y = 2x\).

Cho \(x = 1\) thì \(y = 2\), ta được điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = 2x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \[O\left( {0\,;\,\,0} \right)\] và điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right)\).

• Đường thẳng \(d':y = x + 3\)

Cho \(x = 0\) thì \(y = 3\), ta được điểm \(B\left( {0\,;\,\,3} \right)\).

Cho \(y = 0\) thì \(x = - 3\), ta được điểm \(C\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(B\left( {0\,;\,\,3} \right)\) và \(C\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\) như hình vẽ:

b) Phương trình hoành độ giao điểm \(2x = x + 3\) nên \(x = 3\) suy ra \(y = 6\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(d\) và \(d'\) là \[\left( {3\,;\,\,6} \right)\].

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat B\) chung; \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{AC}}{{HA}}\).

b) Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\) (do )

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH \cdot AH = BH \cdot CH\)

Do đó \(A{H^2} = HB \cdot HC\) (đpcm).