Một nghệ nhân dự định chế tác một bộ quân cờ tướng cao cấp gồm 32 quân bằng đá cẩm thạch (Marble). Hình dạng mỗi quân cờ là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi cung tròn, trục hoành và hai đường thẳng đứng quanh trục hoành

Độ dày (chiều cao) quân cờ bằng \(20\)mm, đường kính mặt trên và mặt dưới của quân cờ bằng \(40\)mm. Biết rằng khối lượng riêng của đá cẩm thạch là \(D = 2,7\)(g/cm3) và công thức tính khối lượng là \(m = D.V\). Hỏi nghệ nhân cần chuẩn bị khối lượng đá tối thiểu là bao nhiêu gam để chế tác đủ bộ 32 quân cờ này? (Giả sử hao hụt trong quá trình gia công không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)

Mặt ngoài quả bóng là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) qua \(A\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \left( {4\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\,;\,\,\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {3\,;\,\,6\,;\,\,12} \right)\).

Do đó \(d\left( {I\,,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Xét mệnh đề a)

Đạo hàm của hàm số là: \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x < 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) < 0\)

Xét trên khoảng \(x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \[x + \frac{\pi }{3} \in \left( {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{5\pi }}{6}} \right)\] suy ra \(0 \le x \le \frac{\pi }{2}\) mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{6}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\). Đây là hai nghiệm đơn, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Xét trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị là \(x = \frac{\pi }{2}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \sqrt 3 \)

Với \(x = \pi  \Rightarrow f\left( \pi  \right) = \pi  - 1\)

So sánh các giá trị thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(\pi  - 1\)

Vậy mệnh đề d) sai