Tiến hành xếp \(3\) cô gái \(\left( {{G_1};\,{G_2};\,\,{G_3}} \right)\) và \(6\) chàng trai vào \(9\) chiếc ghế hàng ngang sao cho ba cô gái ngồi theo đúng thứ tự \({G_1};\,{G_2};\,\,{G_3}\) từ trái sang phải (không nhất thiết phải ngồi kề nhau). Giữa cô gái thứ nhất \(\left( {{G_1}} \right)\) và cô gái thứ hai \(\left( {{G_2}} \right)\) có ít nhất một chàng trai, giữa cô gái thứ hai \(\left( {{G_2}} \right)\) và cô gái thứ ba \(\left( {{G_3}} \right)\) có tối đa hai chàng trai. Gọi \(T\) là số cách xếp thỏa mãn. Tính \(\frac{T}{{80}}\)

 

Xét mệnh đề a)

Đạo hàm của hàm số là: \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x < 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) < 0\)

Xét trên khoảng \(x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \[x + \frac{\pi }{3} \in \left( {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{5\pi }}{6}} \right)\] suy ra \(0 \le x \le \frac{\pi }{2}\) mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{6}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\). Đây là hai nghiệm đơn, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Xét trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị là \(x = \frac{\pi }{2}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \sqrt 3 \)

Với \(x = \pi  \Rightarrow f\left( \pi  \right) = \pi  - 1\)

So sánh các giá trị thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(\pi  - 1\)

Vậy mệnh đề d) sai