Một công ty công nghệ muốn thiết kế chính sách hoa hồng cho đội ngũ kinh doanh chủ lực của mình. Công ty sẽ đưa ra một mức hoa hồng là \(r\)(tính bằng \(\% \)) trên tổng doanh thu mà đội ngũ kinh doanh mang về. Sau khi phân tích dữ liệu kinh doanh và chi phí hoạt động trong nhiều quý người ta nhận thấy rằng để tạo ra doanh thu thì đội ngũ bán hàng phải chi trả các chi phí hoạt động như đi lại, gặp gỡ,…Nếu đội kinh doanh tiếp cận \(x\) khách hàng tiềm năng thì tổng chi phí hoạt động là \(C\left( x \right) = 0,5{x^2}\) (triệu đồng) và doanh thu dự kiến mang về từ \(x\) khách hàng tiềm năng này là \(S\left( x \right) = 8000\sqrt x \) (triệu đồng). Đội ngũ kinh doanh được trao quyền tự chủ để tự quyết định số lượng khách hàng cần tiếp cận mỗi tháng sao cho thu nhập của cả đội là lớn nhất. Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là bao nhiêu?

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và cắt \(\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}} \) tại điểm đặc biệt \(M\)

Khi ấy \({k_d} = \tan 30^\circ  \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\)với ta có phương trình hoành độ điểm \(M\) là: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196\)

Suy ra tọa độ \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)\) gọi parabol đề cho có phương trình \(\left( P \right):y =  - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)\)

Do \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có phương trình: \[7 =  - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y =  - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)\]

Gọi \(d'\) là pháp tuyến của \(d\) tại \(M\) thì dễ dàng có được \(d':y =  - x\sqrt 3  + 28\)

Khi đó với \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(M\) ta có phương trình tiếp xúc như sau:

\[\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c =  - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Suy ra:

Tiếp đến gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(x = m\) sao cho \(\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ \).

 Suy ra \(\Delta :y =  - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta  \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)\)

Hệ số góc: \({k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ \)

Suy ra: \[ - \frac{m}{7} = \tan 150^\circ  \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}\](cm2)

Gọi \({S_0}\) là diện tích hình giới hạn bởi cong \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\), vậy diện tích cần tìm là:

\[S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x}  + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141\](cm²)