Một công ty công nghệ muốn thiết kế chính sách hoa hồng cho đội ngũ kinh doanh chủ lực của mình. Công ty sẽ đưa ra một mức hoa hồng là \(r\)(tính bằng \(\% \)) trên tổng doanh thu mà đội ngũ kinh doanh mang về. Sau khi phân tích dữ liệu kinh doanh và chi phí hoạt động trong nhiều quý người ta nhận thấy rằng để tạo ra doanh thu thì đội ngũ bán hàng phải chi trả các chi phí hoạt động như đi lại, gặp gỡ,…Nếu đội kinh doanh tiếp cận \(x\) khách hàng tiềm năng thì tổng chi phí hoạt động là \(C\left( x \right) = 0,5{x^2}\) (triệu đồng) và doanh thu dự kiến mang về từ \(x\) khách hàng tiềm năng này là \(S\left( x \right) = 8000\sqrt x \) (triệu đồng). Đội ngũ kinh doanh được trao quyền tự chủ để tự quyết định số lượng khách hàng cần tiếp cận mỗi tháng sao cho thu nhập của cả đội là lớn nhất. Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là bao nhiêu?

Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai

Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)

Số cách để đạt các mức điểm như sau:

Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý  có \(C_4^4 = 1\)(cách)

Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)

Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)

Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)

Được \(0\)điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)

Các trường hợp đạt tổng \(2,5\)điểm

Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2,5\)

Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,5;0} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:

Số cách xếp bộ điểm này là: \(\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12\)(cách)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách

Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,25;0,25} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là\(C_4^2 = 6\)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là  \(6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216\)(cách)

Trường hợp 3: Bộ điểm \(\left\{ {1;0,5;0,5;0,5} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là \(C_4^1 = 4\).

Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là \(4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256\) (cách)

Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 48 + 216 + 256 = 520\)(cách)

Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên \(n\left( A \right) = 48 + 216 = 264\)

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0,51\)