Để thiết kế một chiếc khuôn con quay Fidget Spinner từ một miếng nhựa hình lục giác tâm \(O\), người ta vẽ một đường tròn tâm \(O\) trên tấm nhựa bán kính bằng \(14\)cm cùng với ba đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3}\) cùng đi qua tâm sao cho chia đường tròn thành ba phần bằng nhau. Tiếp đến dựng ba parabol có trục trùng với \({d_1},{d_2},{d_3}\) và tiếp xúc với hai bên của cạnh lục giác trên sao cho mỗi hai giao điểm của parabol cắt đường tròn cũng trùng với giao điểm kia của parabol với đường tròn đã cho (gọi là điểm đặc biệt). Biết rằng điểm đặc biệt này là tiếp điểm chung của đường tròn và hai đường cong parabol tương ứng. Khi đó, diện tích của phần còn lại của lục giác đều cần phải cắt bỏ (phần màu xanh) là bao nhiêu cm2? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

           

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và cắt \(\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}} \) tại điểm đặc biệt \(M\)

Khi ấy \({k_d} = \tan 30^\circ  \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\)với ta có phương trình hoành độ điểm \(M\) là: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196\)

Suy ra tọa độ \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)\) gọi parabol đề cho có phương trình \(\left( P \right):y =  - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)\)

Do \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có phương trình: \[7 =  - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y =  - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)\]

Gọi \(d'\) là pháp tuyến của \(d\) tại \(M\) thì dễ dàng có được \(d':y =  - x\sqrt 3  + 28\)

Khi đó với \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(M\) ta có phương trình tiếp xúc như sau:

\[\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c =  - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Suy ra:

Tiếp đến gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(x = m\) sao cho \(\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ \).

 Suy ra \(\Delta :y =  - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta  \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)\)

Hệ số góc: \({k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ \)

Suy ra: \[ - \frac{m}{7} = \tan 150^\circ  \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}\](cm2)

Gọi \({S_0}\) là diện tích hình giới hạn bởi cong \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\), vậy diện tích cần tìm là:

\[S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x}  + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141\](cm²)