Có \(7\) lá thư khác nhau được bỏ ngẫu nhiên vào \(3\) hòm thư khác nhau A, B, C. Tính xác suất để có đúng một hòm thư chứa \(3\) lá thư (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Xét mệnh đề a)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua ba điểm \[S\left( {0;5;10} \right),C\left( {8;9;2} \right),D\left( {16;7;0} \right)\]
Ta có tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right) = 4\left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SD} = \left( {16;2; - 10} \right) = 2\left( {8;1; - 5} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[{\vec n_P} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 3; - 6; - 6} \right)\]
Chọn \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(S\left( {0;5;10} \right)\):
\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) + 2\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 30 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(SC\)là \({\vec u_{SC}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec u}_{SC}}.\vec k} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{SC}}} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .1}} = \frac{2}{3}\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Cung tròn tâm\(M\)nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(C,D\) và tiếp xúc \(SC\)ại\(C\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và do \(M \in \left( P \right) \Rightarrow x + 2y + 2z = 30\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, ta có\(SC\)là tiếp tuyến với cung tròn tại tiếp điểm \(C\)nên \(MC \bot SC \Rightarrow MC.SC = 0\)
Với \(\overrightarrow {MC} = \left( {8 - x;9 - y;2 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {SC} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {8 - x} \right) + 4\left( {9 - y} \right) - 8\left( {2 - z} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 21\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lại có \(MC = MD \Leftrightarrow M{C^2} = M{D^2}\) nên khi đó:
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {z^2} \Leftrightarrow 4x - y - z = 39\,\,\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ phương trình từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta tìm được tọa độ tâm\(M\left( {12;5;4} \right)\)
Bán kính \(R = MC = \sqrt {{{\left( {12 - 8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 6\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ dài đoạn thẳng \(SC = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 12\)đơn vị độ dài.
Để tính độ dài cung \(CD\), ta cần tìm góc \(\varphi = \widehat {CMD}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {MD} = \left( {4;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} }}{{\left| {\overrightarrow {MC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MD} } \right|}} = \frac{{ - 16 + 8 + 8}}{{6.6}} = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
Độ dài cung đơn vị độ dài
Quãng đường thực tế là \(S = \left( {12 + 3\pi } \right).5 \approx 107\)(m) nên mệnh đề d) đúng

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)} \right.\)
Suy ra \(\left[ {A',BC,A} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \) và đặt \(AB = BC = CA = x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x}\\{A'M = \frac{{2SA'.BC}}{{BC}} = \frac{{64}}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}30^\circ = \frac{{AM}}{{A'M}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x:\frac{{64}}{x} = \frac{{\sqrt 3 {x^2}}}{{128}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = 8\)
Vậy \(AA' = AM.{\rm{tan}}30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 4 \Rightarrow d = 4\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(4\).