PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\). Biết số đo góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(30^\circ \) và tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng 32. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng bao nhiêu?

Xét mệnh đề a)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua ba điểm \[S\left( {0;5;10} \right),C\left( {8;9;2} \right),D\left( {16;7;0} \right)\]
Ta có tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right) = 4\left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SD} = \left( {16;2; - 10} \right) = 2\left( {8;1; - 5} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[{\vec n_P} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 3; - 6; - 6} \right)\]
Chọn \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(S\left( {0;5;10} \right)\):
\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) + 2\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 30 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(SC\)là \({\vec u_{SC}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec u}_{SC}}.\vec k} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{SC}}} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .1}} = \frac{2}{3}\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Cung tròn tâm\(M\)nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(C,D\) và tiếp xúc \(SC\)ại\(C\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và do \(M \in \left( P \right) \Rightarrow x + 2y + 2z = 30\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, ta có\(SC\)là tiếp tuyến với cung tròn tại tiếp điểm \(C\)nên \(MC \bot SC \Rightarrow MC.SC = 0\)
Với \(\overrightarrow {MC} = \left( {8 - x;9 - y;2 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {SC} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {8 - x} \right) + 4\left( {9 - y} \right) - 8\left( {2 - z} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 21\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lại có \(MC = MD \Leftrightarrow M{C^2} = M{D^2}\) nên khi đó:
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {z^2} \Leftrightarrow 4x - y - z = 39\,\,\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ phương trình từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta tìm được tọa độ tâm\(M\left( {12;5;4} \right)\)
Bán kính \(R = MC = \sqrt {{{\left( {12 - 8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 6\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ dài đoạn thẳng \(SC = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 12\)đơn vị độ dài.
Để tính độ dài cung \(CD\), ta cần tìm góc \(\varphi = \widehat {CMD}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {MD} = \left( {4;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} }}{{\left| {\overrightarrow {MC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MD} } \right|}} = \frac{{ - 16 + 8 + 8}}{{6.6}} = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
Độ dài cung đơn vị độ dài
Quãng đường thực tế là \(S = \left( {12 + 3\pi } \right).5 \approx 107\)(m) nên mệnh đề d) đúng

Tại thời điểm\(\left( {t = 0} \right)\)vận tốc của tàu là \(35\)m/s: \(v\left( 0 \right) = - a.{\left( 0 \right)^2} + b = 35 \Rightarrow b = 35\)
Vậy hàm vận tốc có dạng:\(v\left( t \right) = - a{t^2} + 35\)
Gọi \(T\)(giây) là thời gian kể từ lúc hãm phanh đến khi mũi tàu chạm đầu cầu
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
Vận tốc tại \(T\) là: \(v\left( T \right) = - a{T^2} + 35 = 10 \Rightarrow a{T^2} = 25 \Rightarrow a = \frac{{25}}{{{T^2}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Quãng đường đi được sau thời gian \(T:\)
\(S\left( T \right) = \int\limits_0^T {\left( { - a{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}a{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^T = - \frac{1}{3}a{t^3} + 35T = 400\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - \frac{1}{3} \cdot \frac{{25}}{{{T^2}}} \cdot {T^3} + 35T = 400 \Rightarrow T = 15\) suy ra \(a = \frac{{25}}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{9}\)
Vậy hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = - \frac{1}{9}{t^2} + 35\)
Gọi \({t_1}\) là khoảng thời gian cần tìm, ta có phương trình quãng đường:
\[S\left( {{t_1}} \right) = \int\limits_0^{{t_1}} {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = 288 \Leftrightarrow \left. {\left( { - \frac{1}{{27}}{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 288 \Leftrightarrow t_1^3 - 945{t_1} + 7776 = 0 \Rightarrow {t_1} = 9\]
Gia tốc của đoàn tàu là:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right)^\prime } = - \frac{2}{9}t\)
Tại thời điểm \({t_1} = 9\) gia tốc thực tế là: \[a\left( 9 \right) = - \frac{2}{9} \cdot 9 = - 2\](m/\[{{\rm{s}}^2}\])
Độ lớn gia tốc lúc này là:\(\left| {a\left( 9 \right)} \right| = 2\) (m/\[{{\rm{s}}^2}\])