Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 4}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Một hình chữ nhật có hai đỉnh là \(A\); \(B\) nằm trên một nhánh của \(\left( C \right)\) và hai đỉnh \(C;\,D\) nằm trên nhánh còn lại. Biết rằng hình chữ nhật này có diện tích bằng \(20\). Hãy xác định chu vi của hình chữ nhật (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 13 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
20,2
Đồ thi hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 4\)và tiệm cận ngang \(y = 1\)nên tâm đối xứng \(I\left( { - 4;1} \right)\)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ\(Oxy\) về tâm\(I\)bằng cách đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + 4}\\{Y = y - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X - 4}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.\)
Thay vào hàm số ban đầu: \(Y + 1 = \frac{{\left( {X - 4} \right) - 2}}{X} = \Leftrightarrow Y = - \frac{6}{X}\)
Đồ thị \(\left( C \right)\) lúc này trở thành đường Hyperbol cơ bản \(\left( H \right):Y = - \frac{6}{X}\) trong hệ tọa độ mới\(IXY\).
Vì các đỉnh đối xứng nhau qua tâm \(I\left( {0;0} \right)\) trong hệ tọa độ\(IXY\), ta gọi tọa độ các đỉnh là:
\(A\left( { - a;\frac{6}{a}} \right)\)và \(B\left( { - b;\frac{6}{b}} \right)\)thì \(C\left( {a; - \frac{6}{a}} \right)\)và \(D\left( {b; - \frac{6}{b}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - b - \left( { - a} \right);\frac{6}{b} - \frac{6}{a}} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {1;\frac{6}{{ab}}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - \left( { - b} \right); - \frac{6}{a} - \frac{6}{b}} \right) = - \left( {a + b} \right)\left( {1; - \frac{6}{{ab}}} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình chữ nhật nên \(AB \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\( \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1.1 + \left( { - \frac{6}{{ab}}} \right)\left( {\frac{6}{{ab}}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right] = 0\)
Vì \(a \ne b\), suy ra \(1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}} = 0 \Rightarrow {a^2}{b^2} = 36\left( 1 \right)\)
Độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\left( {a - b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a - b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a - b} \right)\)
\(BC = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{6\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a + b} \right)\)
Theo đề bài, ta có \(AB.BC = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 10\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 10}\\{{a^2}{b^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 5 + \sqrt {61} }\\{{b^2} = \sqrt {61} - 5}\end{array}} \right.\)
Chu vi \[P = 2\left( {AB + BC} \right) = 2\left[ {\sqrt 2 \left( {a - b} \right) + \sqrt 2 \left( {a + b} \right)} \right] = 4\sqrt 2 a\,\,\,\left( * \right)\]
Thay \(a = \sqrt {5 + \sqrt {61} } \)vào \(\left( * \right) \Rightarrow P = 4\sqrt {2\left( {5 + \sqrt {61} } \right)} = 4\sqrt {10 + 2\sqrt {61} } \approx 20,2\)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ\(Oxy\) về tâm\(I\)bằng cách đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + 4}\\{Y = y - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X - 4}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.\)
Thay vào hàm số ban đầu: \(Y + 1 = \frac{{\left( {X - 4} \right) - 2}}{X} = \Leftrightarrow Y = - \frac{6}{X}\)
Đồ thị \(\left( C \right)\) lúc này trở thành đường Hyperbol cơ bản \(\left( H \right):Y = - \frac{6}{X}\) trong hệ tọa độ mới\(IXY\).
Vì các đỉnh đối xứng nhau qua tâm \(I\left( {0;0} \right)\) trong hệ tọa độ\(IXY\), ta gọi tọa độ các đỉnh là:
\(A\left( { - a;\frac{6}{a}} \right)\)và \(B\left( { - b;\frac{6}{b}} \right)\)thì \(C\left( {a; - \frac{6}{a}} \right)\)và \(D\left( {b; - \frac{6}{b}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - b - \left( { - a} \right);\frac{6}{b} - \frac{6}{a}} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {1;\frac{6}{{ab}}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - \left( { - b} \right); - \frac{6}{a} - \frac{6}{b}} \right) = - \left( {a + b} \right)\left( {1; - \frac{6}{{ab}}} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình chữ nhật nên \(AB \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\( \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1.1 + \left( { - \frac{6}{{ab}}} \right)\left( {\frac{6}{{ab}}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right] = 0\)
Vì \(a \ne b\), suy ra \(1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}} = 0 \Rightarrow {a^2}{b^2} = 36\left( 1 \right)\)
Độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\left( {a - b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a - b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a - b} \right)\)
\(BC = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{6\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a + b} \right)\)
Theo đề bài, ta có \(AB.BC = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 10\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 10}\\{{a^2}{b^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 5 + \sqrt {61} }\\{{b^2} = \sqrt {61} - 5}\end{array}} \right.\)
Chu vi \[P = 2\left( {AB + BC} \right) = 2\left[ {\sqrt 2 \left( {a - b} \right) + \sqrt 2 \left( {a + b} \right)} \right] = 4\sqrt 2 a\,\,\,\left( * \right)\]
Thay \(a = \sqrt {5 + \sqrt {61} } \)vào \(\left( * \right) \Rightarrow P = 4\sqrt {2\left( {5 + \sqrt {61} } \right)} = 4\sqrt {10 + 2\sqrt {61} } \approx 20,2\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Phương trình mặt phẳng sườn dốc \(\left( P \right)\) là \(x + 2y + 2z - 30 = 0\)
Đúng
Sai
b) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đường trượt thẳng \(SC\) và mặt phẳng nằm ngang \(\left( {Oxy} \right)\) thì \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\)
Đúng
Sai
c) Bán kính quỹ đạo cung tròn của đoạn rẽ hướng là \(R = 6\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
d) Giả sử mỗi đơn vị độ dài trong hệ tọa độ ứng với \(5{\rm{ m}}\) thực tế. Tổng quãng đường thực tế vận động viên đã đi từ \(S\) đến \(D\) bằng \(107{\rm{ m}}\) (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đúng
Sai
Lời giải
Xét mệnh đề a)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua ba điểm \[S\left( {0;5;10} \right),C\left( {8;9;2} \right),D\left( {16;7;0} \right)\]
Ta có tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right) = 4\left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SD} = \left( {16;2; - 10} \right) = 2\left( {8;1; - 5} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[{\vec n_P} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 3; - 6; - 6} \right)\]
Chọn \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(S\left( {0;5;10} \right)\):
\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) + 2\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 30 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(SC\)là \({\vec u_{SC}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec u}_{SC}}.\vec k} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{SC}}} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .1}} = \frac{2}{3}\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Cung tròn tâm\(M\)nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(C,D\) và tiếp xúc \(SC\)ại\(C\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và do \(M \in \left( P \right) \Rightarrow x + 2y + 2z = 30\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, ta có\(SC\)là tiếp tuyến với cung tròn tại tiếp điểm \(C\)nên \(MC \bot SC \Rightarrow MC.SC = 0\)
Với \(\overrightarrow {MC} = \left( {8 - x;9 - y;2 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {SC} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {8 - x} \right) + 4\left( {9 - y} \right) - 8\left( {2 - z} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 21\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lại có \(MC = MD \Leftrightarrow M{C^2} = M{D^2}\) nên khi đó:
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {z^2} \Leftrightarrow 4x - y - z = 39\,\,\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ phương trình từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta tìm được tọa độ tâm\(M\left( {12;5;4} \right)\)
Bán kính \(R = MC = \sqrt {{{\left( {12 - 8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 6\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ dài đoạn thẳng \(SC = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 12\)đơn vị độ dài.
Để tính độ dài cung \(CD\), ta cần tìm góc \(\varphi = \widehat {CMD}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {MD} = \left( {4;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} }}{{\left| {\overrightarrow {MC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MD} } \right|}} = \frac{{ - 16 + 8 + 8}}{{6.6}} = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
Độ dài cung đơn vị độ dài
Quãng đường thực tế là \(S = \left( {12 + 3\pi } \right).5 \approx 107\)(m) nên mệnh đề d) đúng
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua ba điểm \[S\left( {0;5;10} \right),C\left( {8;9;2} \right),D\left( {16;7;0} \right)\]
Ta có tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right) = 4\left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SD} = \left( {16;2; - 10} \right) = 2\left( {8;1; - 5} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[{\vec n_P} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 3; - 6; - 6} \right)\]
Chọn \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(S\left( {0;5;10} \right)\):
\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) + 2\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 30 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(SC\)là \({\vec u_{SC}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec u}_{SC}}.\vec k} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{SC}}} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .1}} = \frac{2}{3}\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Cung tròn tâm\(M\)nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(C,D\) và tiếp xúc \(SC\)ại\(C\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và do \(M \in \left( P \right) \Rightarrow x + 2y + 2z = 30\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, ta có\(SC\)là tiếp tuyến với cung tròn tại tiếp điểm \(C\)nên \(MC \bot SC \Rightarrow MC.SC = 0\)
Với \(\overrightarrow {MC} = \left( {8 - x;9 - y;2 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {8;4; - 8} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {SC} = 0 \Leftrightarrow 8\left( {8 - x} \right) + 4\left( {9 - y} \right) - 8\left( {2 - z} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z = 21\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lại có \(MC = MD \Leftrightarrow M{C^2} = M{D^2}\) nên khi đó:
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {z^2} \Leftrightarrow 4x - y - z = 39\,\,\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ phương trình từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta tìm được tọa độ tâm\(M\left( {12;5;4} \right)\)
Bán kính \(R = MC = \sqrt {{{\left( {12 - 8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 6\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ dài đoạn thẳng \(SC = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 12\)đơn vị độ dài.
Để tính độ dài cung \(CD\), ta cần tìm góc \(\varphi = \widehat {CMD}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {MD} = \left( {4;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} }}{{\left| {\overrightarrow {MC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MD} } \right|}} = \frac{{ - 16 + 8 + 8}}{{6.6}} = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}\)
Độ dài cung đơn vị độ dài
Quãng đường thực tế là \(S = \left( {12 + 3\pi } \right).5 \approx 107\)(m) nên mệnh đề d) đúng
Lời giải
Đáp án:
4
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)} \right.\)
Suy ra \(\left[ {A',BC,A} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \) và đặt \(AB = BC = CA = x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x}\\{A'M = \frac{{2SA'.BC}}{{BC}} = \frac{{64}}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}30^\circ = \frac{{AM}}{{A'M}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x:\frac{{64}}{x} = \frac{{\sqrt 3 {x^2}}}{{128}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = 8\)
Vậy \(AA' = AM.{\rm{tan}}30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 4 \Rightarrow d = 4\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(4\).
Suy ra \(\left[ {A',BC,A} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \) và đặt \(AB = BC = CA = x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x}\\{A'M = \frac{{2SA'.BC}}{{BC}} = \frac{{64}}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}30^\circ = \frac{{AM}}{{A'M}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x:\frac{{64}}{x} = \frac{{\sqrt 3 {x^2}}}{{128}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = 8\)
Vậy \(AA' = AM.{\rm{tan}}30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 4 \Rightarrow d = 4\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\)có dạng: \(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{x_0^2}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)
Đúng
Sai
b) Tọa độ hai đầu cầu nối vào hai đại lộ là \(A\left( {1;\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} \right)\)và \[B\left( {2{x_0} - 1;1} \right)\]
Đúng
Sai
c) Với mọi vị trí của điểm \(M\)trên\(\left( C \right)\), điểm \(M\) luôn là trung điểm của cây cầu \(AB\) và độ dài đoạn \(IM\) luôn bằng một nửa chiều dài cây cầu.
Đúng
Sai
d) Khi chi phí xây dựng cầu thấp nhất (tương ứng độ dài \(AB\) ngắn nhất), cây cầu sẽ tạo với hai đại lộ một tam giác vuông cân \(IAB\) và có độ dài\(AB = 2\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập