Cho hình thoi \(ABCD\) có \[\widehat A = 60^\circ .\] Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M,\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AM = BN.\)
Tam giác \(ABD\) là tam giác đều.
\(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.c.
c) \(\widehat {MDN}\) luôn không đổi và bằng \(60^\circ \) với mọi vị trí của điểm \(M.\)
Chu vi của tam giác \(MDN\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm \(M\) trùng điểm \(A.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) (tính chất các cạnh hình thoi) nên là tam giác cân.
Tam giác cân có \[\widehat A = 60^\circ \] nên \[\Delta ABD\] là tam giác đều.
b) Sai. Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) và \(BD\) là tia phân giác của góc \(B.\)
Vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên dễ dàng chứng minh được \[\widehat A + \widehat B = 180^\circ ,\] suy ra \[\widehat B = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]
Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(B\) suy ra \(\widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ .\)
Vì \[\Delta ABD\] là tam giác đều nên \(\widehat {ADB} = 60^\circ \) và \(AD = BC.\)
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta BDN\) có:
\(AD = BC,\,\,\widehat {MAD} = \widehat {NBD} = 60^\circ ,\,\,AM = BN.\)
Do đó \(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.g.c).
c) Đúng. Vì \(\Delta ADM = \Delta BDN\) (c.g.c) nên ta có \(\widehat {ADM} = \widehat {BDN}.\)
Khi đó \(\widehat {MDN} = \widehat {MDB} + \widehat {BDN} = \widehat {MDB} + \widehat {ADM} = \widehat {ADB} = 60^\circ .\)
Vậy \(\widehat {MDN}\) bằng \(60^\circ \) chứ không phải \(90^\circ .\)
d) Sai. Ta có \(DM = DN\) (do \(\Delta ADM = \Delta BDN)\) và góc \(\widehat {MDN} = 60^\circ ,\) nên \(\Delta MDN\) là tam giác đều.
Chu vi tam giác đều bằng \(3DM.\)
Để chu vi đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng \(DM\) phải ngắn nhất.
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, \(DM\) ngắn nhất khi nó vuông góc với \(AB.\)
Trong tam giác đều \(ABD,\) đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(M\) bắt buộc phải là trung điểm của cạnh \(AB.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập