Cho hình vuông \(ABCD.\) Lấy điểm \(M\) nằm bên trong hình vuông sao cho \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 15^\circ .\) Tính số đo của góc \(\widehat {MCD}\) (theo đơn vị độ).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\) và các góc ở mỗi đỉnh bằng \(90^\circ .\)
Dựng tam giác đều \(ABN\) hoàn toàn nằm bên trong hình vuông.
Ta có \(\widehat {DAN} = \widehat {BAD} - \widehat {BAN} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\)
Do tam giác \(ABN\) đều nên \(\widehat {NAB} = 60^\circ \) và \(AN = AB,\) suy ra \(AN = AD.\)
Suy ra \(\Delta ADN\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {AND} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ .\)
Lấy một điểm \(M\prime \) trong hình vuông \(ABCD\) sao cho \(\Delta M\prime CD\) là tam giác đều.
Suy ra \(\widehat {M'DC} = 60^\circ \) và \(M'D = CD = AD.\)
Khi đó \(\Delta M\prime AD\) cân tại \(D\) với \(\widehat {M'DA} = \widehat {ADC} - \widehat {MDC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) nên \(\widehat {M\prime AD} = \frac{{180^\circ - \widehat {M'DA}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ .\)
Khi đó \(\widehat {M\prime AB} = \widehat {BAD} - \widehat {M\prime AD} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)
Tương tự, ta cũng có \(\widehat {M\prime BA} = 15^\circ .\)
Do chỉ tồn tại duy nhất một giao điểm \(M\) tạo được cặp góc \(15^\circ \) này, nên điểm \(M\) chính là \(M\prime .\)
Điều này khẳng định \(\Delta MCD\) là một tam giác đều, do đó \(\widehat {MCD} = 60^\circ .\)
Đáp án: 60.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập