Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,CD.\)
Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành, lại có \(AE = AD\) do \(AB = 2AD,\) suy ra \(AEFD\) là hình thoi.
\(AF\) và \(DE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\) \(N\) là giao điểm của \(EC\) và \(BF.\) Tứ giác \(EMFN\) là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật \(EMFN\) là hình vuông, hình bình hành \(ABCD\) ban đầu phải là hình thoi.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,DF\) và \(AE = DF\) nên nó là hình bình hành.
Vì \(E\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = 2AD\) nên \(AE = \frac{1}{2}AB = AD.\)
Hình bình hành \(AEFD\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
b) Sai. Hai đường chéo \(AF\) và \(DE\) của hình thoi \(AEFD\) cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau, nhưng chúng hoàn toàn không bắt buộc phải bằng nhau.
c) Đúng. Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(AF \bot DE,\) tức là \(\widehat {EMF} = 90^\circ .\)
Tương tự, \(BEFC\) cũng là hình thoi nên \(\widehat {ENF} = 90^\circ .\)
Dễ dàng chứng minh được tứ giác \(AECF\) là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,CE\).
Mà \(AF \bot DE,\) nên \(CE \bot DE\) tại \(E.\) Do đó \(\widehat {MEN} = 90^\circ .\)
Tương tự, ta có \(\widehat {MFN} = 90^\circ .\)
Tứ giác \(EMFN\) có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.
d) Sai. Để hình chữ nhật \(EMFN\) trở thành hình vuông thì hai cạnh kề \(EM\) và \(MF\) phải bằng nhau, tức là \(DE = CE.\)
Mà \(CE = AF\) (do \(AECF\) là hình bình hành) nên ta cần \(DE = AF.\)
Hình thoi \(AEFD\) có hai đường chéo \(DE = AF\) nên nó sẽ là hình vuông.
Khi đó \(\widehat {DAB} = 90^\circ .\)
Do vậy, điều kiện đúng là hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật, chứ không phải hình thoi (do giả thiết \(AB = 2AD\) ngay từ đầu đã mâu thuẫn với định nghĩa hình thoi \(AB = AD\)).
Thật vậy, nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EMFN\) là hình vuông.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập