Cho tam giác ABC có $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0, AC=b, AB=c \left(b>c\right)$. Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.

a)     Chứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và $EA.EM=EC.EI$.

Chứng minh biểu thức $S=n^3{\left(n+2\right)}^2+\left(n+1\right)\left(n^3-5n+1\right)-2n-1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Giải phương trình $x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\left(\text{1}\right)\\ \sqrt{x^2-x{y}^2+1}+3\sqrt{x-1}=x{y}^2\left(\text{2}\right).\end{array}\right.$

Cho biểu thức $Q=\frac{\left(x+27\right).P}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$, với $x\ge 0, x\ne 1, x\ne 4$. Chứng minh $Q\ge 6.$ với biểu thức P ở câu 1

Cho ba số a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 và và $\left|a\right|\le 1,\left|b\right|\le 1,\left|c\right|\le 1.$ Chứng minh rằng $a^4+b^6+c^8\le 2.$

Cho tam giác ABC có $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0, AC=b, AB=c \left(b>c\right)$. Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.

c)     Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c.

Cho biểu thức: $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$, với $x\ge 0, x\ne 1$. Rút gọn biểu thức P.