Cho tam giác ABC có $\overset{⏜}{B A C} = 60^{0}, A C = b, A B = c (b > c)$ . Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.
b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Ta có $\overset{⏜}{I E M} = \overset{⏜}{A E C} \Rightarrow \overset{⏜}{A E I} = \overset{⏜}{C E M}$ .

Mặt khác $\overset{⏜}{A E I} = \overset{⏜}{A J I}$ ( cùng chắn cung IJ), $\overset{⏜}{C E M} = \overset{⏜}{C J M}$ ( cùng chắn cung CM). Suy ra $\overset{⏜}{C J M} = \overset{⏜}{A J I}$ . Mà I, M nằm hai phía của đường thẳng AC nên $\overset{⏜}{C J M} = \overset{⏜}{A J I}$ đối đỉnh suy ra I, J, M thẳng hàng.

Tương tự, ta chứng minh được H, M, K thẳng hàng.

Do tứ giác CFMK nội tiếp nên $\overset{⏜}{C F K} = \overset{⏜}{C M K}$ .

Do tứ giác CMJE nội tiếp nên $\overset{⏜}{J M E} = \overset{⏜}{J C E}$ .

Mặt khác $\overset{⏜}{E C F} = 90^{0} \Rightarrow \overset{⏜}{C F K} = \overset{⏜}{J C E}$ ( vì cùng phụ với $\overset{⏜}{A C F}$ ).

Do đó $\overset{⏜}{C M K} = \overset{⏜}{J M E} \Rightarrow \overset{⏜}{J M K} = \overset{⏜}{E M C} = 90^{0}$ hay $I J ⊥ H K$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh biểu thức $S = n^{3} {(n + 2)}^{2} + (n + 1) (n^{3} - 5 n + 1) - 2 n - 1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$S = n (n^{4} + 5 n^{3} + 5 n^{2} - 5 n - 6) = n [(n^{2} - 1) (n^{2} + 6) + 5 n (n^{2} - 1)] = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 5 n + 6) = n (n - 1) (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$

Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.

Câu 2

Giải phương trình $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $1 \leq x \leq 7$

Ta có: $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1$

$\Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + (x - 1) - \sqrt{(x - 1) (7 - x)} = 0 \Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + \sqrt{x - 1} (\sqrt{x - 1} - \sqrt{7 - x}) = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) (2 - \sqrt{x - 1}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = 2 \\ \sqrt{x - 1} = \sqrt{7 - x} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 4 \end{array} (t / m)$

Vậy phương trình có hai nghiệm x= 4 và x= 5

Câu 3