Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung $\stackrel{⏜}{BC}$  chứa A của (O). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.

1) Chứng minh rằng B, I, Q, C cùng nằm trên một đường tròn.

2) Trên tia BQ, CQ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $BM=BI, CN=CI$. Chứng minh rằng N luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.

AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.

1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)

2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). D là điểm thuộc cạnh BC (D  khác B và D khác C). Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng AD tại E, F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N.   

2) Giả sử $\frac{FN}{EM}=\frac{BN}{CM}$ . Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ (M khác B; C và AM không đi qua O). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M

2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{BAD }<{90}^o$. Giả sử O là điểm nằm trong $∆ABD$ sao cho OC không vuông góc với BD. Vẽ đường tròn tâm O đi qua C. BD cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho B nằm giữa M, D. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD, AB lần lượt tại P, Q

1) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của $\widehat{BAC}$. Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.

1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.

2) Chứng minh rằng các đường thẳng $BE;CF;AD$ đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.

3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{ABC}$  và góc $\widehat{ACB}$  nhọn, góc $\widehat{BAC}={60}^0$ . Các đường phân giác trong $B{B}_1; C{C}_1$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.

3) Chứng minh $AK \perp B_1{C}_1$