30 câu hình học tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên

Cho hình bình hành ABCD với $\widehat{BAD}<{90}^{\circ }$. Đường phân giác của góc $\widehat{BCD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.

1) Chứng minh rằng $\Delta OBE=\Delta ODC$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ (M khác B; C và AM không đi qua O). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O. Chứng minh rằng ba điểm N, P, D thẳng hàng.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt (O) tại điểm D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A.

1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ (M khác B; C và AM không đi qua O). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M

2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.

Cho hình bình hành ABCD với $\widehat{BAD}<{90}^{\circ }$. Đường phân giác của góc $\widehat{BCD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.

3). Gọi giao điểm của OC và BD là I, chứng minh rằng $IB.BE.EI=ID.DF.FI$.

Cho hình bình hành ABCD với $\widehat{BAD}<{90}^{\circ }$. Đường phân giác của góc $\widehat{BCD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.

2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $△CEF$.

Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của $\widehat{BAC}$. Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.

1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.

2) Chứng minh rằng các đường thẳng $BE;CF;AD$ đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.

3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, H thuộc BC. P thuộc AB sao cho CP là phân giác góc BCA. Giao điểm của CB và AH là Q. Trung trực của PQ cắt AH và BC lần lượt tại E, F.

1) PE giao AC tại K. Chứng minh rằng PK vuông góc AC.

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, H thuộc BC. P thuộc AB sao cho CP là phân giác góc BCA. Giao điểm của CB và AH là Q. Trung trực của PQ cắt AH và BC lần lượt tại E, F.

2, Chứng minh rằng bốn điểm $P;E;C;F$ thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi CT là đường phân giác trong của tam giác (T thuộc cạnh AB).

1) Chứng minh rằng đường tròn (K) đi qua C; T và tiếp xúc với AB có tâm K thuộc BC

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi CT là đường phân giác trong của tam giác (T thuộc cạnh AB).

2) Gọi giao điểm của AC và (K) là D khác C, giao điểm của DB và (K) là E khác D. Chứng minh rằng $\widehat{ABD}=\widehat{BCE}$.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi CT là đường phân giác trong của tam giác (T thuộc cạnh AB).

3) Gọi giao điểm của CE và AB là M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BT.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M, N là hai điểm thuộc cung nhỏ sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA, BN. BM giao AC tại P. Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ sao cho PQ vuông góc với BC. QN giao AC tại R.

1) Chứng minh rằng bốn điểm $B;P;R;Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M, N là hai điểm thuộc cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA, BN. BM giao AC tại P. Gọi Q là một điểm thuộc cung $\stackrel{⏜}{BC}$nhỏ  sao cho PQ vuông góc với BC. QN giao AC tại R

2) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M, N là hai điểm thuộc cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA, BN. BM giao AC tại P. Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ sao cho PQ vuông góc với BC. QN giao AC tại R.

3) Gọi F là giao của AQ và BN. Chứng minh rằng $\widehat{AFB}=\widehat{BPQ}+\widehat{ABR}.$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.

AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.

1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)

2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung $\stackrel{⏜}{BC}$  chứa A của (O). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.

1) Chứng minh rằng B, I, Q, C cùng nằm trên một đường tròn.

2) Trên tia BQ, CQ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $BM=BI, CN=CI$. Chứng minh rằng N luôn đi qua một điểm cố định.

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{BAD }<{90}^o$. Giả sử O là điểm nằm trong $∆ABD$ sao cho OC không vuông góc với BD. Vẽ đường tròn tâm O đi qua C. BD cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho B nằm giữa M, D. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD, AB lần lượt tại P, Q

1) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{BAD }<{90}^o$. Giả sử O là điểm nằm trong $∆ABD$ sao cho OC không vuông góc với BD. Vẽ đường tròn tâm O đi qua C. BD cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho B nằm giữa M, D. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD, AB lần lượt tại P, Q

2) CM cắt QN tại K, CN cắt PM tại L. Chứng minh rằng $KL\perp OC.$

Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD và AB<CD. M  là trung điểm CD. P là điểm di chuyển trên đoạn MD ( P khác M, D).AP cắt (O)  tại Q khác A, BP cắt (O) tại R khác B, QR cắt CD tại E. Gọi F là điểm đối xứng với P qua E

2) Giả sử EA tiếp xúc (O).Chứng minh rằng khi đó QMvuông góc với CD.

Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD và AB<CD. M  là trung điểm CD. P là điểm di chuyển trên đoạn MD ( P khác M, D). AP cắt (O)  tại Q khác A, BP cắt (O) tại R khác B, QR cắt CD tại E. Gọi F là điểm đối xứng với P qua E

1) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF luôn thuộc một đường thẳng cố định khi P di chuyển.

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). D là điểm thuộc cạnh BC (D  khác B và D khác C). Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng AD tại E, F.

Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N.   

1) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với (O).

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). D là điểm thuộc cạnh BC (D  khác B và D khác C). Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng AD tại E, F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N.   

2) Giả sử $\frac{FN}{EM}=\frac{BN}{CM}$ . Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc $\stackrel{\wedge }{A}$  bằng ${60}^o$ nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.

1) Chứng minh rằng $AD.AC=AE.AB$.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc $\stackrel{\wedge }{A}$  bằng ${60}^o$ nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.

2, Chứng minh rằng $BC=2.DE$.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc $\stackrel{\wedge }{A}$  bằng ${60}^o$ nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.

3, Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H'. Chứng minh H và H' đối xứng qua AC và hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $△AHC; △ABC$ có cùng bán kính.

Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{ABC}$  và góc $\widehat{ACB}$  nhọn, góc $\widehat{BAC}={60}^0$ . Các đường phân giác trong $B{B}_1; C{C}_1$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.

1) Chứng minh tứ giác $A{B}_{1}I{C}_1$  nội tiếp.

Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{ABC}$  và góc $\widehat{ACB}$  nhọn, góc $\widehat{BAC}={60}^0$ . Các đường phân giác trong $B{B}_1; C{C}_1$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.

2) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác $B{C}_{1}I$ . Chứng minh tứ giác $CKI{B}_1$ nội tiếp.

Cho tam giác ABC có các góc $\widehat{ABC}$  và góc $\widehat{ACB}$  nhọn, góc $\widehat{BAC}={60}^0$ . Các đường phân giác trong $B{B}_1; C{C}_1$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.

3) Chứng minh $AK \perp B_1{C}_1$