Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của BAC^. Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt...

1) Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E vàFBA^=ECA^=A^2⇒ΔABF∽ΔACE.2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.Ta có GFGC=BFCE=ABAC=DBDC⇒GD∥FB , và FB∥AD ta có G∈AD.3). Chứng minh BQG^=QGA^=GAE^=GAC^+CAE^=GAB^+BAF^=GAF^, nên AGQF nội tiếp và QPG^=GCE^=GFQ^, suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.

Câu hỏi:

13/07/2024 4,041

Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của $\hat{B A C}$ . Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.
1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.
2) Chứng minh rằng các đường thẳng $B E; C F; A D$ đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.
3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 câu hình học tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và

$\hat{F B A} = \hat{E C A} = \frac{\hat{A}}{2} \Rightarrow Δ A B F ∽ Δ A C E$ .

2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.

Ta có $\frac{G F}{G C} = \frac{B F}{C E} = \frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C} \Rightarrow G D ∥ F B$ , và $F B ∥ A D$ ta có $G \in A D$ .

3). Chứng minh $\hat{B Q G} = \hat{Q G A} = \hat{G A E} = \hat{G A C} + \hat{\begin{array}{l} C A E \end{array}} = \hat{G A B} + \hat{\begin{array}{l} B A F \end{array}} = \hat{G A F}$ ,

nên AGQF nội tiếp và $\hat{Q P G} = \hat{G C E} = \hat{G F Q}$ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.
AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.
1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)
2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra $\hat{A P D} = 90^{0}$ ,

mà $\hat{A H E} = 90^{0}$ ( $do H E ∥ B C ⊥ H A$ ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có $\hat{A P H} = \hat{A E H}$ (góc nội tiếp)

$= \hat{A C B} (H E ∥ B C) = \hat{A P B}$ (góc nội tiếp)

$\Rightarrow P H \equiv P B$

2). Ta có $H P ⊥ A C \Rightarrow \hat{A E H} = \hat{A H P} = \hat{A E P}$

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra $E I ⊥ A C \Rightarrow E I ∥ H B$

Tương tự $F I ∥ H C; E F ∥ B C \Rightarrow Δ I E F v à Δ H B C$ có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\hat{B A C}$ cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Xem đáp án

Lời giải

2) Từ AD là phân giác $\hat{B A C}$ suy ra DB=DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC.

Từ 1) $Δ B D M ∽ Δ B C F$ , ta có $\frac{D M}{C F} = \frac{B D}{B C}$ .

Vậy ta có biến đổi sau

$\frac{D A}{C F} = \frac{2 D M}{C F} = \frac{2 B D}{B C} = \frac{C D}{C N} = \frac{D E}{C E}$ (3).

Ta lại có góc nội tiếp $\hat{A D E} = \hat{F C E}$ (4).

Từ 3 và 4 ta có:

$Δ E A D ∽ Δ E F C \Rightarrow \hat{E F C} = \hat{E A D} = 90 ° \Rightarrow E F ⊥ A C$

Câu 3

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{B C}$ (M khác B; C và AM không đi qua O). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M
2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). D là điểm thuộc cạnh BC (D khác B và D khác C). Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng AD tại E, F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N.
2) Giả sử $\frac{F N}{E M} = \frac{B N}{C M}$ . Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} < 90^{o}$ . Giả sử O là điểm nằm trong $∆ A B D$ sao cho OC không vuông góc với BD. Vẽ đường tròn tâm O đi qua C. BD cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho B nằm giữa M, D. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD, AB lần lượt tại P, Q
1) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC có các góc $\hat{A B C}$ và góc $\hat{A C B}$ nhọn, góc $\hat{B A C} = 60^{0}$ . Các đường phân giác trong $B B_{1}; C C_{1}$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.
3) Chứng minh $A K ⊥ B_{1} C_{1}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tam giác ABC có các góc ABC^ và góc ACB^ nhọn, góc BAC^=600 . Các đường phân giác trong BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.3) Chứng minh AK ⊥B1C1

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có các góc $\hat{A B C}$ và góc $\hat{A C B}$ nhọn, góc $\hat{B A C} = 60^{0}$ . Các đường phân giác trong $B B_{1}; C C_{1}$ của tam giác ABC cắt nhau tại I.
3) Chứng minh $A K ⊥ B_{1} C_{1}$