Câu hỏi:

11/07/2024 12,916

Cho hình thang vuông ABCD $(AB // CD, \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ})$ có AD = CD = 2AB. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.
a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.
b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.
c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

Vì E là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AE. Do đó, AE = 2AB.

Theo đề bài ta có: AD = CD = 2AB

=> AD = CD = AE.

Vì ABCD là hình thang vuông nên ta có: $\{\begin{cases} AB // CD \\ \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}$

Xét tứ giác AECD ta có:

AE // CD

AE = CD

=> Tứ giác AECD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà ta lại có: AD = AE (chứng minh trên)

=> Tứ giác AECD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Theo giả thiết: $\hat{A} = \hat{D} = 90^{o}$

Suy ra, tứ giác AECD là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

Vì tứ giác AECD là hình vuông nên AE = CE = CD = DA (định nghĩa hình vuông)

Vì M là trung điểm của EC nên EM = CM $= \frac{CE}{2}$ .

Mà $BE = \frac{AE}{2}$ và AE = CE (chứng minh trên).

=> BE = CM

Ta có: $\begin{array}{l} S_{BEC} = \frac{1}{2} . BE . CE \\ S_{DCM} = \frac{1}{2} . CM . DC \end{array}\} \Rightarrow S_{BEC} = S_{DCM}$

$\Rightarrow S_{BEMI} + S_{CMI} = S_{DCI} + S_{CMI}$

$\Rightarrow S_{BEMI} = S_{DCI}$ (đpcm)

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Xét tam giác BEC và tam giác MCD ta có:

BE = MC (cmt)

$\hat{BEC} = \hat{MCD} = 90^{\circ}$

EC = CE (cmt)

$\Rightarrow ΔBEC = ΔMCD$ (c-g-c)

$\Rightarrow \hat{BCE} = \hat{MDC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\hat{BCE} + \bar{BCD} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{MDC} + \hat{BCD} = 90^{\circ}$

Xét tam giác DIC ta có: $\hat{IDC} + \hat{DCI} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{DIC} = 90^{\circ}$ (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)

=> DI vuông góc với BC tại I.

Xét tam giác DNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} = {IN}^{2} + {ND}^{2} \Rightarrow {ND}^{2} = {ID}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác VNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${IV}^{2} = {IN}^{2} + {NV}^{2} \Rightarrow {NV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác DVI vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} + {IV}^{2} = {DV}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {(VN + ND)}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {VN}^{2} + 2 VN . ND + {ND}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2} + 2 VN . ND + {ID}^{2} - {IN}^{2}$

$\Rightarrow 2 {IN}^{2} = 2 VN . ND$

$\Rightarrow {IN}^{2} = VN . ND$ .

Vậy ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là

Xem đáp án

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên $\hat{A} = \hat{C}$ và $\hat{B} = \hat{D}$ (tính chất)

Áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác ta có:

Câu 2

Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua MN và D là giao điểm của MN và BA’.

Vì $C \in MN$ nên CA = CA’.

Ta có: $CA + CB = CA' + CB \leq BA'$ $\Rightarrow CA' + CB \leq DA' + BD$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $C \equiv D$ .

Vậy khi $C \equiv D$ thì tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất.

Câu 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2 x^{2} + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình bình hành ABCD có góc A là góc tù. Kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.
c) Tính diện tích hình bình hành AHCK. Biết AH = 4cm, HK = 2cm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Kết quả của phép tính $\frac{5 x + 2}{3 {xy}^{2}} : \frac{10 x + 4}{x^{2} y}$ là

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $AM ⊥ IK$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2 x^{2} + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Kết quả của phép tính $\frac{5 x + 2}{3 {xy}^{2}} : \frac{10 x + 4}{x^{2} y}$ là