Câu hỏi:

11/07/2024 10,669

Cho hình thang vuông ABCD $(AB // CD, \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ})$ có AD = CD = 2AB. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.
a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.
b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.
c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

Vì E là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AE. Do đó, AE = 2AB.

Theo đề bài ta có: AD = CD = 2AB

=> AD = CD = AE.

Vì ABCD là hình thang vuông nên ta có: $\{\begin{cases} AB // CD \\ \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}$

Xét tứ giác AECD ta có:

AE // CD

AE = CD

=> Tứ giác AECD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà ta lại có: AD = AE (chứng minh trên)

=> Tứ giác AECD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Theo giả thiết: $\hat{A} = \hat{D} = 90^{o}$

Suy ra, tứ giác AECD là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

Vì tứ giác AECD là hình vuông nên AE = CE = CD = DA (định nghĩa hình vuông)

Vì M là trung điểm của EC nên EM = CM $= \frac{CE}{2}$ .

Mà $BE = \frac{AE}{2}$ và AE = CE (chứng minh trên).

=> BE = CM

Ta có: $\begin{array}{l} S_{BEC} = \frac{1}{2} . BE . CE \\ S_{DCM} = \frac{1}{2} . CM . DC \end{array}\} \Rightarrow S_{BEC} = S_{DCM}$

$\Rightarrow S_{BEMI} + S_{CMI} = S_{DCI} + S_{CMI}$

$\Rightarrow S_{BEMI} = S_{DCI}$ (đpcm)

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Xét tam giác BEC và tam giác MCD ta có:

BE = MC (cmt)

$\hat{BEC} = \hat{MCD} = 90^{\circ}$

EC = CE (cmt)

$\Rightarrow ΔBEC = ΔMCD$ (c-g-c)

$\Rightarrow \hat{BCE} = \hat{MDC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\hat{BCE} + \bar{BCD} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{MDC} + \hat{BCD} = 90^{\circ}$

Xét tam giác DIC ta có: $\hat{IDC} + \hat{DCI} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{DIC} = 90^{\circ}$ (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)

=> DI vuông góc với BC tại I.

Xét tam giác DNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} = {IN}^{2} + {ND}^{2} \Rightarrow {ND}^{2} = {ID}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác VNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${IV}^{2} = {IN}^{2} + {NV}^{2} \Rightarrow {NV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác DVI vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} + {IV}^{2} = {DV}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {(VN + ND)}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {VN}^{2} + 2 VN . ND + {ND}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2} + 2 VN . ND + {ID}^{2} - {IN}^{2}$

$\Rightarrow 2 {IN}^{2} = 2 VN . ND$

$\Rightarrow {IN}^{2} = VN . ND$ .

Vậy ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là

Xem đáp án » 11/07/2024 18,587

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2 x^{2} + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Xem đáp án » 11/07/2024 12,437

Câu 3:

Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).

Xem đáp án » 11/07/2024 9,254

Câu 4:

Kết quả của phép tính $\frac{5 x + 2}{3 {xy}^{2}} : \frac{10 x + 4}{x^{2} y}$ là

Xem đáp án » 11/07/2024 8,699

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD có góc A là góc tù. Kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.
c) Tính diện tích hình bình hành AHCK. Biết AH = 4cm, HK = 2cm.

Xem đáp án » 11/07/2024 8,514

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $AM ⊥ IK$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 7,060

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.