Cho hình thang vuông ABCD $\left(\mathrm{AB}\text{\hspace{0.17em}//}\mathrm{CD},\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}}={90}^{\circ }\right)$ có AD =  CD = 2AB. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${\mathrm{NI}}^2=\mathrm{ND}.\mathrm{NV}$ .

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

Vì E là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AE. Do đó, AE = 2AB.

Theo đề bài ta có: AD = CD = 2AB

=> AD = CD = AE.

Vì ABCD là hình thang vuông nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{CD}\\ \hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}}={90}^{\circ }\end{array}\right.$

Xét tứ giác AECD ta có:

AE // CD

AE = CD

=> Tứ giác AECD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà ta lại có: AD = AE (chứng minh trên)

=> Tứ giác AECD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Theo giả thiết: $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}}={90}^o$

Suy ra, tứ giác AECD là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

Vì tứ giác AECD là hình vuông nên AE = CE = CD = DA (định nghĩa hình vuông)

Vì M là trung điểm của EC nên EM = CM $=\frac{\mathrm{CE}}{2}$.

Mà $\mathrm{BE}=\frac{\mathrm{AE}}{2}$ và AE = CE (chứng minh trên).

=> BE = CM

Ta có: $\left.\begin{array}{l}{\mathrm{S}}_{\mathrm{BEC}}=\frac{1}{2}.\mathrm{BE}.\mathrm{CE}\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{DCM}}=\frac{1}{2}.\mathrm{CM}.\mathrm{DC}\end{array}\right\}\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{BEC}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{DCM}}$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{BEMI}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{CMI}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{DCI}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{CMI}}$

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{BEMI}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{DCI}}$ (đpcm)

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${\mathrm{NI}}^2=\mathrm{ND}.\mathrm{NV}$.

Xét tam giác BEC và tam giác MCD ta có:

BE = MC (cmt)

$\widehat{\mathrm{BEC}}=\widehat{\mathrm{MCD}}={90}^{\circ }$

EC = CE (cmt)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta BEC}=\mathrm{\Delta MCD}$ (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BCE}}=\widehat{\mathrm{MDC}}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{\mathrm{BCE}}+\overline{\mathrm{BCD}}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{\mathrm{MDC}}+\widehat{\mathrm{BCD}}={90}^{\circ }$

Xét tam giác DIC ta có: $\widehat{\mathrm{IDC}}+\widehat{\mathrm{DCI}}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{\mathrm{DIC}}={90}^{\circ }$ (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)

=> DI vuông góc với BC tại I.

Xét tam giác DNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${\mathrm{ID}}^2={\mathrm{IN}}^2+{\mathrm{ND}}^2\Rightarrow {\mathrm{ND}}^2={\mathrm{ID}}^2-{\mathrm{IN}}^2$       

Xét tam giác VNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${\mathrm{IV}}^2={\mathrm{IN}}^2+{\mathrm{NV}}^2\Rightarrow {\mathrm{NV}}^2={\mathrm{IV}}^2-{\mathrm{IN}}^2$ 

Xét tam giác DVI vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${\mathrm{ID}}^2+{\mathrm{IV}}^2={\mathrm{DV}}^2$

$\Rightarrow {\mathrm{ID}}^2+{\mathrm{IV}}^2={\left(\mathrm{VN}+\mathrm{ND}\right)}^2$

$\Rightarrow {\mathrm{ID}}^2+{\mathrm{IV}}^2={\mathrm{VN}}^2+2\mathrm{VN}.\mathrm{ND}+{\mathrm{ND}}^2$

$\Rightarrow {\mathrm{ID}}^2+{\mathrm{IV}}^2={\mathrm{IV}}^2-{\mathrm{IN}}^2+2\mathrm{VN}.\mathrm{ND}+{\mathrm{ID}}^2-{\mathrm{IN}}^2$

$\Rightarrow 2{\mathrm{IN}}^2=2\mathrm{VN}.\mathrm{ND}$

$\Rightarrow {\mathrm{IN}}^2=\mathrm{VN}.\mathrm{ND}$.

Vậy ${\mathrm{NI}}^2=\mathrm{ND}.\mathrm{NV}$.