Câu hỏi:

11/07/2024 11,101

Cho hình thang vuông ABCD $(AB // CD, \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ})$ có AD = CD = 2AB. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.
a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.
b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.
c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

Vì E là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AE. Do đó, AE = 2AB.

Theo đề bài ta có: AD = CD = 2AB

=> AD = CD = AE.

Vì ABCD là hình thang vuông nên ta có: $\{\begin{cases} AB // CD \\ \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}$

Xét tứ giác AECD ta có:

AE // CD

AE = CD

=> Tứ giác AECD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà ta lại có: AD = AE (chứng minh trên)

=> Tứ giác AECD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Theo giả thiết: $\hat{A} = \hat{D} = 90^{o}$

Suy ra, tứ giác AECD là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

Vì tứ giác AECD là hình vuông nên AE = CE = CD = DA (định nghĩa hình vuông)

Vì M là trung điểm của EC nên EM = CM $= \frac{CE}{2}$ .

Mà $BE = \frac{AE}{2}$ và AE = CE (chứng minh trên).

=> BE = CM

Ta có: $\begin{array}{l} S_{BEC} = \frac{1}{2} . BE . CE \\ S_{DCM} = \frac{1}{2} . CM . DC \end{array}\} \Rightarrow S_{BEC} = S_{DCM}$

$\Rightarrow S_{BEMI} + S_{CMI} = S_{DCI} + S_{CMI}$

$\Rightarrow S_{BEMI} = S_{DCI}$ (đpcm)

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Xét tam giác BEC và tam giác MCD ta có:

BE = MC (cmt)

$\hat{BEC} = \hat{MCD} = 90^{\circ}$

EC = CE (cmt)

$\Rightarrow ΔBEC = ΔMCD$ (c-g-c)

$\Rightarrow \hat{BCE} = \hat{MDC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\hat{BCE} + \bar{BCD} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{MDC} + \hat{BCD} = 90^{\circ}$

Xét tam giác DIC ta có: $\hat{IDC} + \hat{DCI} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{DIC} = 90^{\circ}$ (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)

=> DI vuông góc với BC tại I.

Xét tam giác DNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} = {IN}^{2} + {ND}^{2} \Rightarrow {ND}^{2} = {ID}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác VNI vuông tại N, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${IV}^{2} = {IN}^{2} + {NV}^{2} \Rightarrow {NV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2}$

Xét tam giác DVI vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

${ID}^{2} + {IV}^{2} = {DV}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {(VN + ND)}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {VN}^{2} + 2 VN . ND + {ND}^{2}$

$\Rightarrow {ID}^{2} + {IV}^{2} = {IV}^{2} - {IN}^{2} + 2 VN . ND + {ID}^{2} - {IN}^{2}$

$\Rightarrow 2 {IN}^{2} = 2 VN . ND$

$\Rightarrow {IN}^{2} = VN . ND$ .

Vậy ${NI}^{2} = ND . NV$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là

Xem đáp án

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên $\hat{A} = \hat{C}$ và $\hat{B} = \hat{D}$ (tính chất)

Áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác ta có:

Câu 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2 x^{2} + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Câu 3

Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Kết quả của phép tính $\frac{5 x + 2}{3 {xy}^{2}} : \frac{10 x + 4}{x^{2} y}$ là

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình bình hành ABCD có góc A là góc tù. Kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.
c) Tính diện tích hình bình hành AHCK. Biết AH = 4cm, HK = 2cm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $AM ⊥ IK$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=2x2+2x+12

Kết quả của phép tính 5x+23xy2:10x+4x2y là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2 x^{2} + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Kết quả của phép tính $\frac{5 x + 2}{3 {xy}^{2}} : \frac{10 x + 4}{x^{2} y}$ là