Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc $\overset{\land}{A}$ bằng $60^{o}$ nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.
3, Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H'. Chứng minh H và H' đối xứng qua AC và hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $△ A H C; △ A B C$ có cùng bán kính.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 câu hình học tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kéo dài BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H'.

Xét hai tam giác vuông $△ A H D$ và $△ A H^{'} D$ có

Cạnh AD chung;

$\hat{B H C} = \hat{H A C}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc);

$\hat{H B C} = \hat{C A H^{'}}$

Mà HH' vuông góc với AC, nên tam giác $△ A H H^{'}$ cân tại A hay AC là đường trung trực của HH'.

Với H' là điểm đối xứng của H qua AC.

Suy ra AC là trung trực của đoạn HH'.

$△ A H^{'} C = △ A H C$

Suy ra bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $△ A H C$ và bằng nhau mà đường tròn ngoại tiếp tam giác $△ A H^{'} C$ chính là đường tròn (O)

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $△ A B C$ và $△ A H C$ có cùng bán kính.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.
AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.
1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)
2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra $\hat{A P D} = 90^{0}$ ,

mà $\hat{A H E} = 90^{0}$ ( $do H E ∥ B C ⊥ H A$ ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có $\hat{A P H} = \hat{A E H}$ (góc nội tiếp)

$= \hat{A C B} (H E ∥ B C) = \hat{A P B}$ (góc nội tiếp)

$\Rightarrow P H \equiv P B$

2). Ta có $H P ⊥ A C \Rightarrow \hat{A E H} = \hat{A H P} = \hat{A E P}$

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra $E I ⊥ A C \Rightarrow E I ∥ H B$

Tương tự $F I ∥ H C; E F ∥ B C \Rightarrow Δ I E F v à Δ H B C$ có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc $\hat{B A C}$ cắt (O) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Xem đáp án

Lời giải

2) Từ AD là phân giác $\hat{B A C}$ suy ra DB=DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC.

Từ 1) $Δ B D M ∽ Δ B C F$ , ta có $\frac{D M}{C F} = \frac{B D}{B C}$ .

Vậy ta có biến đổi sau

$\frac{D A}{C F} = \frac{2 D M}{C F} = \frac{2 B D}{B C} = \frac{C D}{C N} = \frac{D E}{C E}$ (3).

Ta lại có góc nội tiếp $\hat{A D E} = \hat{F C E}$ (4).

Từ 3 và 4 ta có:

$Δ E A D ∽ Δ E F C \Rightarrow \hat{E F C} = \hat{E A D} = 90 ° \Rightarrow E F ⊥ A C$

Câu 3