Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy 2 điểm M, N theo thứ tự A, M, N, B ( hai điểm M, N khác 2 điểm A và B). Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại C, AN và BM cắt nhau tại D

a, Chứng minh tứ giác MCND nội tiếp. Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b, Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh rằng: BN.BC = BH.BA

c, Tính ∠IMO

d, Cho biết ∠BAM = ${45}^0$; ∠BAN = ${30}^0$. Tính theo R diện tích của tam giác ABC

a, Ta có:

∠AMB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DMC = ${90}^0$

∠ANB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DNC = ${90}^0$

Xét tứ giác MCND có:

∠DMC + ∠DNC = ${90}^0$ + ${90}^0$ = ${180}^0$

=> Tứ giác MCDN là tứ giác nội tiếp

Do ∠DMC = ${90}^0$ nên DC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN

Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm I của DC

b, Xét tam giác CAB có:

AN ⊥ BC

BM ⊥ AC

AN giao với BM tại H

=> H là trực tâm của tam giác CAB

=> CH ⊥ BA

Xét ΔCHB và ΔBNA có:

∠CBA là góc chung

∠CHB = ∠ANB = ${90}^0$

=>ΔCHB ∼ ΔANB

=> $\frac{BC}{BA}$ = $\frac{BH}{BN}$

=>BN.BC = BA.BH

c, Xét tam giác HDB vuông tại H có:

∠BDH + ∠DBH = ${90}^0$ (1)

Xét tam giác IDM cân tại I (ID = IM )

=> ∠IMD = ∠IDM

Mà ∠IDM = ∠BDH (đối đỉnh)

=> ∠IMD = ∠BDH (2)

Mặt khác tam giác OBM cân tại O ( OB = OM)

=> ∠OMB = ∠DBH (3)

Từ (1); (2) và (3)

=> ∠IMD + ∠OMB = ∠BDH + ∠DBH = ${90}^0$

=> ∠IMO = ${90}^0$

d, Xét tam giác BAN vuông tại N có:

∠NAB = ${30}^0$ => ∠NBA = ${60}^0$

Xét tam giác CHB vuông tại H có ∠NBA = ${60}^0$

=> BH = CH.cot${60}^0$ = $\frac{CH}{\sqrt{3}}$

Lại có: Tam giác CHA vuông tại H có ∠CAH = ${45}^0$

=> Tam giác CHA vuông cân tại H => CH = HA

Ta có:

AB = HA + HB = CH + $\frac{CH}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$CH

=> $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$CH = 2R => CH = $R\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.CH.AB = $\frac{1}{2}$. $R\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)$.2R = $R^2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)$