Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: $x^2+2{(x+1)}^2+3{(x+2)}^2+4{(x+3)}^2.$

Tính giá trị của biểu thức $A=x^4-17x^3+17x^2-17x+20$ tại $x = 16$

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=x^3-30x^2-31x+1$ tại x = 31

b) $B=x^5-15x^4+16x^3-29x^2+13x$ tại x = 14

c) $C=x^{14}-10x^{13}+10x^{12}-10x^{11}+\mathrm{...}+10x^2-10x+10$ tại x = 9

Xét các ví dụ: 53.57=3021, 72.78=5616

Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số có hai chữ số, trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, còn các chữ số hàng đơn vị có tổng bằng 10.

a) Thực hiện phép tính: $A=(2^9+2^7+1)(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{10}+2^9-2^7+1).$

b) Số $2^{32}+1$ có là số nguyên tố không ?

Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab-2 chia hết cho 3.

Cho $a+b=m, a-b=n$. Tính ab và $a^3+b^3$ theo m và n.