Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC. Hãy dựng một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE+DF có giá trị nhỏ nhất

Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất

Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10 cm. Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC). Xác định vị trí của điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.

Các đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau ở O. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác, biết $S_{AOB}=4 c{m}^2, S_{COD}=9 c{m}^2$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm bất kì nằm trên cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M lên AB, AC. Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.

Trong các hình bình hành có diện tích và một đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất?

Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất.

Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD, biết AB = AD = a và BC=CD = b

Trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng d không đổi, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho $\widehat{DHE}=90°$. Tìm vị trí của D, E để DE có độ dài nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a. Một đường thẳng d bất kì đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi I và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng d, gọi H là trung điểm BC. Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK.

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F , G, H sao cho AE = AH = CF = CG. Xác định vị trí các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:

1. AB = 40 cm, BC = 20 cm.

2. AB = a, BC = b (b < a < 3a)

Người ta dùng một đoạn dây căng thành 3 đoạn thẳng tạo với một bức tường làm thành một hình chữ nhật. Hãy chỉ ra cách căng dây để hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất.

Tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đỉnh của một lục giác đều cho trước là nhỏ nhất.

Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng chu vi, tam giác cân có diện tích lớn nhất.

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?

Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nà có chu vi nhỏ nhất?

Trong các hình thoi có cùng chu vi, tìm hình thoi có diện tích lớn nhất?

Trong các hình thoi có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất?

Chứng minh rằng:

a) Trong các tứ giác có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

b) Trong các tứ giác có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Tứ giác ABCD có $\hat{C}+\hat{D}=90°$, AD = BC, AB = b, CD = a (a > b). gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, DB. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH.

Trong các tứ giác có tổng hai đường chéo bằng s. Tứ giác nào có diện tích lớn nhất?

Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất.

Cho điểm E nằm trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD. Dựng các điểm F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CD, DA sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S. Tìm diện tích nhỏ nhất của các tứ giác EFGH có bốn đỉnh lần lượt thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật và $AE+CG\le AB; AH+CF\ge AD$

Cho hình vuông ABCD cạnh a. tìm diện tích lớn nhất của các hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vuông và hai cạnh đáy song song với một đường chéo của hình vuông.

Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = 2 cm, điểm F thuộc cạnh BC sao cho BF = 3 cm. Dựng các điểm G, H theo thứ tự thuộc các cạnh CD, AD sao cho EFGH là hình thang.

1. Có đáy EH, FG và có diện tích nhỏ nhất.

2. Có đáy EF, GH và có diện tích lớn nhất.

Cho hình chữ nhật ABCD có các kích thước là a và b. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật EFGH ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (mỗi đỉnh của hình chữ nhật ABCD nằm trên một cạnh của hình chữ nhật EFGH)

Cho tam giác ABC. Xác định vị trí các điểm D, E trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = BC và DE có độ dài nhỏ nhất.

Trong các tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông không đổi, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?

Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất.

Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?

Từ một tấm kim loại hình tam giác vuông, cắt ra một hình vuông theo hai cách:

Cách 1: một góc của hình vuông trùng với góc vuông của tam giác, đỉnh đối diện thuộc cạnh huyền của tam giác.

Cách 2. Một cạnh của hình vuông nằm trên cạnh huyền của tam giác, hai đỉnh kia thuộc hai cạnh góc vuông của tam giác.

Cách cắt nào cho hình vuông có diện tích lớn hơn?

Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của D, E trên BC. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH.

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc cạnh BC sao cho tổng các khoảng cách từ M đến AB và đến AC có giá trị nhỏ nhất.

Cho hình thang ABCD. Tìm điểm M nằm trong hoặc trên cạnh của hình thang sao cho tổng khoảng cách từ M đến các cạnh của hình thang có giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d là nhỏ nhất.

Cho hình vuông ABCD và điểm K nằm bên trong không trùng với tâm hình vuông. Dựng qua K một đường thẳng sao cho nó cắt hình vuông thành hai phần có hiệu các diện tích lớn nhất

Cho tam giác ABC cân tại A. các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, CA sao cho AM = CN. Xác định vị trí M, N để

1. MN có giá trị nhỏ nhất

2. Diện tích tam giác AMN có giá trị lớn nhất

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cạnh BC thì:

1. Chu vi tứ giác MEAF không đổi

2. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn luôn đi qua một điểm K cố định.

3. Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.

Cho tam giác ABC có diện tích S. các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho $\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CA}=k$. Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Tìm điểm M nằm trong tam giác sao cho $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ có giá trị nhỏ nhất, trong đó x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M đến các cạnh BC, AC, AB

Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn $120°$. Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.

1. Chứng minh $CM.DN=a^2$

2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh $\widehat{MKN}=90°$.

Cho tam giác ABC. Qua một điểm bất kì thuộc cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia tạo với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của điểm m để hình bình hành có diện tích lớn nhất.

Cho tam giác ABC. Qua điểm O nằm bên trong tam giác, vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia tam giác thành ba hình bình hành và ba tam giác nhỏ.

1. Biết diện tích tam giác ABC bằng $81c{m}^2$, hai trong ba tam giác nhỏ có diện tích bằng $4c{m}^2$ và $16c{m}^2$. Tính diện tích tam giác còn lại.

2. Chứng minh rằng tổng diện tích của ba tam giác nhỏ lớn hơn hoặc bằng  diện tích tam giác ABC. Điểm O ở vị trí nào thì xảy ra dấu bằng?