Bài tập Toán 8: Tính chất cơ bản của phân thức

Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{2{\mathrm{a}}^3+4{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{a}}^2-4}=\frac{...}{\mathrm{a}-2}$ với $\mathrm{a}\ne \pm 2;$ 

b) $\frac{5(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{3}=\frac{5{\mathrm{x}}^2-5{\mathrm{y}}^2}{...}$ với $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}.$

Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{6{\mathrm{b}}^2-9\mathrm{b}}{4{\mathrm{b}}^2-9}=\frac{3\mathrm{b}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{b}\ne \pm \frac{3}{2};$ 

b) $\frac{\mathrm{n}-\mathrm{m}}{2-\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{m}\ne 2.$

Cho chuỗi đẳng thức $\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{P}}{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4}=\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{\mathrm{T}}{{\mathrm{x}}^3+8}$ với x $\ne \pm$2.

Hãy tìm một bộ ba đa thức P, Q, T phù hợp.

Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau: $\frac{\mathrm{q}+1}{\mathrm{q}-3}=\frac{...}{{\mathrm{q}}^2-4\mathrm{q}+3}=\frac{...}{{\mathrm{q}}^3-27}$ với q $\ne$ 1 và q $\ne$ 3.

Cho phân thức $\frac{12{\mathrm{a}}^3-12\mathrm{a}+3}{(6\mathrm{a}-3)(5-\mathrm{a})}$ với a $\ne$ 2 và a $\ne$ 5. Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có từ thức là đa thức A = 1 - 2a.

Biến đổi phân thức $\frac{{\mathrm{x}}^2-7}{4\mathrm{x}+3}$ với $\mathrm{x}\ne -\frac{3}{4}$ và x $\ne$ 0 thành một phân thức bằng nó và có mẫu thức là B = $12{\mathrm{x}}^2$ + 9x.

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{y}+4}{2\mathrm{y}}$ và $\frac{{\mathrm{y}}^2-16}{3\mathrm{y}+1}$ với $\mathrm{y}\ne -\frac{1}{3};\mathrm{y}\ne 0$ và $\mathrm{y}\ne 4.$ 

Biến đổi hai phân thức này thành cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức.

Biến đổi $\frac{\mathrm{u}+2}{5}$ và $\frac{3\mathrm{u}}{\mathrm{u}-1}$ với $\mathrm{u}\ne 1$ thành cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức.

Cho cặp phân thức $\frac{9\mathrm{x}-6}{3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-(2\mathrm{x}+2)}$ và $\frac{3{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+1}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ và $\mathrm{x}\ne \frac{2}{3}.$ Chứng tỏ cặp phân thức trên bằng nhau.

Cho hai phân thức $\frac{{\mathrm{y}}^2+5\mathrm{y}+6}{3\mathrm{y}+6}$ và $\frac{2{\mathrm{y}}^2+5\mathrm{y}-3}{6\mathrm{y}-3}$ với $\mathrm{y}\ne -2$ và $\mathrm{y}\ne \frac{1}{2}.$ Cặp phân thức này có bằng nhau hay không?

Tính giá trị của phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ tại $3x-1=0;$ 

b) $\frac{\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}$ với $\mathrm{x}\ne 2;\mathrm{x}\ne 3$ tại ${\mathrm{x}}^2-4=0.$

Tính giá trị của phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne \frac{1}{2}$ tại $\left|2\mathrm{x}+1\right|=3;$

b) $\frac{3{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3}$ với $\mathrm{x}\ne 2;\mathrm{x}\ne 3$ tại ${\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+15=0.$

Tìm đa thức thích hợp điền vào các chỗ trống thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2+8}{2\mathrm{x}-1}=\frac{2{\mathrm{x}}^3+16\mathrm{x}}{...}$ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \frac{1}{2};$

b) $\frac{...}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}}{2{(\mathrm{y}-\mathrm{x})}^2}$ với $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}.$

Trong mỗi đẳng thức sau, hãy tìm đa thức M phù hợp:

a) $\frac{3{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{y}}{(\mathrm{y}-1)\mathrm{M}}=\frac{3\mathrm{y}}{\mathrm{y}-1}$ với $\mathrm{y}\ne -2$ và $\mathrm{y}\ne 1$;

b) $\frac{-2{\mathrm{a}}^2+4\mathrm{ab}+2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{M}}{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2}$ với $\mathrm{a}\ne \pm \mathrm{b}.$

Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau: $\frac{(\mathrm{m}-2)(...)}{2{\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}-3}=\frac{...}{4{\mathrm{m}}^2-9}=\frac{...}{8{\mathrm{m}}^3-27}$ với $\mathrm{m}\ne -1$ và $\mathrm{m}\ne \pm \frac{3}{2}.$

Tìm cặp phân thức mới có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức ban đầu:

a) $\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-5}$ và $\frac{3\mathrm{x}+1}{5-\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne 5;$

b) $\frac{2}{{\mathrm{u}}^2+6\mathrm{u}+9}$ và $\frac{\mathrm{u}-3}{2\mathrm{u}+6}$ với $\mathrm{u}\ne -3.$

Biến đổi $\frac{3\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-1)}$ và $\frac{\mathrm{x}+3}{(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-3)}$ với $\mathrm{x}\ne -2;\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne 3$ thành cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức.

Biến đổi mỗi phân thức $\frac{3\mathrm{y}}{\mathrm{y}+2},\frac{\mathrm{y}-1}{\mathrm{y}-2},{\mathrm{y}}^2+4$ với $\mathrm{y}\ne \pm 2$ thành phân thức có mẫu thức là ${\mathrm{y}}^2$ - 4.

Cho cặp phân thức $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-4}$ và $\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}$ với $\mathrm{x}\ne -1;\mathrm{x}\ne 2$ và $\mathrm{x}\ne 4.$ 

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$. Chứng minh có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng $\frac{\mathrm{A}\text{'}}{\mathrm{E}}$ và $\frac{\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{E}}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{\mathrm{A}\text{'}}{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}.$