Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$. Chứng minh có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng $\frac{\mathrm{A}\text{'}}{\mathrm{E}}$ và $\frac{\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{E}}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{\mathrm{A}\text{'}}{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}.$

Tính giá trị của phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ tại $3x-1=0;$ 

b) $\frac{\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}$ với $\mathrm{x}\ne 2;\mathrm{x}\ne 3$ tại ${\mathrm{x}}^2-4=0.$

Cho cặp phân thức $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-4}$ và $\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}$ với $\mathrm{x}\ne -1;\mathrm{x}\ne 2$ và $\mathrm{x}\ne 4.$ 

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

Với giá trị x thỏa mãn 2${\mathrm{x}}^2$ – 7x + 3 = 0, tính giá trị phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1}{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-1};$            b) $\frac{{\mathrm{x}}^3-27}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}.$

Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{6{\mathrm{b}}^2-9\mathrm{b}}{4{\mathrm{b}}^2-9}=\frac{3\mathrm{b}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{b}\ne \pm \frac{3}{2};$ 

b) $\frac{\mathrm{n}-\mathrm{m}}{2-\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{n}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{m}\ne 2.$

Tính giá trị của phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne \frac{1}{2}$ tại $\left|2\mathrm{x}+1\right|=3;$

b) $\frac{3{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3}$ với $\mathrm{x}\ne 2;\mathrm{x}\ne 3$ tại ${\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+15=0.$

Cho chuỗi đẳng thức $\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{P}}{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4}=\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{\mathrm{T}}{{\mathrm{x}}^3+8}$ với x $\ne \pm$2.

Hãy tìm một bộ ba đa thức P, Q, T phù hợp.

Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{2{\mathrm{a}}^3+4{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{a}}^2-4}=\frac{...}{\mathrm{a}-2}$ với $\mathrm{a}\ne \pm 2;$ 

b) $\frac{5(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{3}=\frac{5{\mathrm{x}}^2-5{\mathrm{y}}^2}{...}$ với $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}.$