Bài tập Toán 8: Rút gọn phân thức

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{6x+12}{24x^2+48x}$ với $\mathrm{x}\ne -2$ và $\mathrm{x}\ne 0$;

b) $\frac{48{\mathrm{a}}^3-75\mathrm{a}}{3(\mathrm{a}-2)-(\mathrm{a}-2)(8-4\mathrm{a})}$ với $\mathrm{a}\ne \frac{5}{4}$ và $\mathrm{a}\ne 2.$

Thu gọn các phân thức sau:

a) $\frac{{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{b}+1}{3{\mathrm{b}}^3+3{\mathrm{b}}^2}$ với $\mathrm{b}\ne -1$ và $\mathrm{b}\ne 0;$

b) $\frac{9{\mathrm{u}}^2{\mathrm{v}}^2+3{\mathrm{u}}^2}{12{\mathrm{uv}}^5+4{\mathrm{uv}}^3}$ với $\mathrm{u}\ne 0$ và $\mathrm{v}\ne 0$

Đơn giản các phân thức sau đây:

a) $\frac{2{\mathrm{y}}^3-{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{y}+1}{{\mathrm{y}}^3+3{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}-3}$ với $\mathrm{y}\ne -3$ và $\mathrm{y}\ne \pm 1;$

b) $\frac{{\mathrm{m}}^4-{\mathrm{n}}^4}{{\mathrm{n}}^3-{\mathrm{m}}^3}$ với $\mathrm{m}\ne \mathrm{n}.$

Tối giản các phân thức sau:

a) $\frac{7{\mathrm{x}}^3+7\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^4-1}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1;$

b) $\frac{48\mathrm{y}-12{\mathrm{y}}^2+3{\mathrm{y}}^3}{{\mathrm{y}}^3+64}$ với $\mathrm{y}\ne -4.$

Thu gọn phân thức: $\mathrm{M}=\frac{{\mathrm{x}}^{10}-{\mathrm{x}}^8-{\mathrm{x}}^7+{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^{30}+{\mathrm{x}}^{24}+{\mathrm{x}}^{18}+{\mathrm{x}}^{12}+{\mathrm{x}}^6+1}.$

Rút gọn phân thức: $\mathrm{N}=\frac{{\mathrm{x}}^7+{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2-1}.$

Thu gọn phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{a}}^3-6{\mathrm{a}}^2+9\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-9}$ với $\mathrm{a}\ne \pm 3;$ 

b) $\frac{10\mathrm{pq}{(2\mathrm{q}-1)}^3}{10{\mathrm{p}}^3-30{\mathrm{p}}^4}$ với $\mathrm{p} \ne 0$ và $\mathrm{p} \ne \frac{1}{2}$ 

Rút gọn phân thức: $\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{x}}^7-{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-1}{{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}.$

Tối giản phân thức:

a) $\frac{4{\mathrm{m}}^2-8\mathrm{mn}}{5{(2\mathrm{n}-\mathrm{m})}^3}$ với $\mathrm{m}\ne 2\mathrm{n};$ 

b) $\frac{9-{(\mathrm{b}+2)}^2}{{\mathrm{b}}^2+10\mathrm{b}+25}$ với $\mathrm{b}\ne -5.$

Rút gọn phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+6}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}$ với $\mathrm{x}\ne -3;$ 

b) $\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}-\mathrm{x}-\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}-\mathrm{x}+\mathrm{y}}$ với $\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}$.

Cho phân thức $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}.$

a) Thu gọn A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Cho phân thức $\mathrm{B}=\frac{-{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{a}}^3+\mathrm{a}-1}{{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{a}}^3+3{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+2}.$

a) Thu gọn B.

b) Chứng minh B luôn không âm với mọi giá trị của a.

Chứng minh đẳng thức: $\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2}{2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-2{\mathrm{xy}}^2-{\mathrm{y}}^3}=\frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$ với $\mathrm{y}\ne -2\mathrm{x}$ và $\mathrm{y}\ne \pm \mathrm{x}.$

Chứng minh phân thức: $\frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}-2{\mathrm{ab}}^2+{\mathrm{b}}^3}{2{\mathrm{a}}^2-\mathrm{ab}-{\mathrm{b}}^2}=\frac{\mathrm{ab}-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{a}+\mathrm{b}}$ với $\mathrm{b}\ne -2\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}\ne \mathrm{a}.$

Cho hai phân thức: P = $\frac{4{\mathrm{xy}}^2 - 4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y} + {\mathrm{x}}^3}{4{\mathrm{x}}^3 - 8{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}}$ và $\mathrm{Q}=\frac{2\mathrm{xy}-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{y}+\mathrm{x}}{4\mathrm{x}-4{\mathrm{x}}^2}$

Với $\mathrm{x}\ne 0;\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne 2\mathrm{y}$. Chứng tỏ P = Q.

Chứng tỏ hai phân thức $\frac{4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{y}}^3-6{\mathrm{y}}^2\mathrm{x}+12{\mathrm{yx}}^2-8\mathrm{x}{}^3}$ và  $\frac{-1}{2\mathrm{x}-\mathrm{y}}$ với $\text{y≠2x}$ bằng nhau.

Cho phân thức $\mathrm{Q}=\frac{1-{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{x}}^{10}-{\mathrm{x}}^8+4{\mathrm{x}}^6-4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2-4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1.$

Chứng minh Q luôn nhận giá trị âm với mọi $\mathrm{x}\ne \pm 1.$

Chứng minh đẳng thức: $\frac{\mathrm{u}-\mathrm{uv}+\mathrm{v}-{\mathrm{v}}^2}{{\mathrm{v}}^3-3{\mathrm{v}}^2+3\mathrm{v}-1}=\frac{\mathrm{u}+\mathrm{v}}{-{\mathrm{v}}^2+2\mathrm{v}-1}$ với $\mathrm{v}\ne 1.$

Chứng tỏ hai phân thức: $\frac{\mathrm{ab}+\mathrm{cx}+\mathrm{ax}+\mathrm{bc}}{\mathrm{ay}+2\mathrm{c}\text{x}+2\mathrm{ax}+\mathrm{cy}}$ và $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{b}}{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}$ bằng nhau với $\text{y≠−2x}$ và $\mathrm{a}\ne -\mathrm{c}.$