Bài tập Toán 8: Hằng đẳng thức (P3)

Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) ${\mathrm{x}}^3$ + 8;                                            b) ${\mathrm{x}}^3$ – 64;

c) 27${\mathrm{x}}^3$ + 1;                                        d) 64${\mathrm{m}}^3$ – 27.

Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 27 – ${\mathrm{y}}^3$;                                         b) 125 + ${\mathrm{t}}^3$;

c) ${\mathrm{a}}^6 + 8{\mathrm{b}}^3$;                                      d) ${\mathrm{z}}^9 – 27{\mathrm{t}}^{12}$.

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu các lập phương

a) (x + 5)(${\mathrm{x}}^2$ – 5x + 25);                     b) (1 – x)(${\mathrm{x}}^2$ + x + 1);

c) (y + 3t)(9${\mathrm{t}}^2$ – 3yt + ${\mathrm{y}}^2$);                  d) $\left(4-\frac{\mathrm{u}}{2}\right)\left(\frac{{\mathrm{u}}^2}{4}+2\mathrm{u}+16\right).$

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu các lập phương

a) $\mathrm{M}=\left(\mathrm{t}+\frac{1}{3}\right)\left({\mathrm{t}}^2-\frac{1}{3}\mathrm{t}+\frac{1}{9}\right);$

b) $\mathrm{N}=\left(\frac{1}{4}-\frac{\mathrm{x}}{5}\right)\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{25}+\frac{\mathrm{x}}{20}+\frac{1}{16}\right);$ 

c) $\mathrm{P}=\left(\frac{3}{4}\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^3\right)\left(-\frac{9}{16}{\mathrm{a}}^2+\frac{3}{4}{\mathrm{ab}}^3-{\mathrm{b}}^6\right);$

d) $\mathrm{Q}=(\mathrm{m}-4{\mathrm{n}}^2)({\mathrm{m}}^2+4{\mathrm{mn}}^2+16{\mathrm{n}}^4).$ 

Rút gọn các biểu thức:

a) $\mathrm{A}=(\mathrm{k}-4)({\mathrm{k}}^2+4\mathrm{k}+16)-(128+{\mathrm{k}}^3);$ 

b) $\mathrm{B}=(2\mathrm{m}+3\mathrm{n})(4{\mathrm{m}}^2-6\mathrm{mn}+9{\mathrm{n}}^2)$$-(3\mathrm{m}-2\mathrm{n})(9{\mathrm{m}}^2+6\mathrm{mn}+4{\mathrm{n}}^2).$

Chứng minh các đẳng thức:

a) ${\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3={(\mathrm{a}+\mathrm{b})}^3-3\text{a}\mathrm{b}(\mathrm{a}+\mathrm{b});$ 

b) ${\mathrm{a}}^3-{\mathrm{b}}^3={(\mathrm{a}-\mathrm{b})}^3+3\mathrm{ab}(\mathrm{a}-\mathrm{b}).$

Tìm x biết:

a) ${(\mathrm{x} – 1)}^3 + (2 – \mathrm{x})(4 + 2\mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2)$ + 3x(x + 2) = 16;

b) (x + 2)(${\mathrm{x}}^2$ – 2x + 4) – x(${\mathrm{x}}^2$ – 2) = 15.

Tìm x biết:

a) ${(\mathrm{x} – 3)}^3 – (\mathrm{x} – 3)({\mathrm{x}}^2 + 3\mathrm{x} + 9) + 9{(\mathrm{x} + 1)}^2$ = 15;

b) x(x – 5)(x + 5) – (x + 2)(${\mathrm{x}}^2$ - 2x + 4) = 3.

a) Chứng minh:

${(\mathrm{A} + \mathrm{B})}^3 = {\mathrm{A}}^3 + {\mathrm{B}}^3$ + 3AB(A + B) và ${(\mathrm{A} - \mathrm{B})}^3 = {\mathrm{A}}^3 - {\mathrm{B}}^3$ – 3AB(A – B)

b) Áp dụng tính:

i) ${21}^3$;                   ii) ${199}^3$        iii) ${18}^3$ + $2^3$;          iv) ${23}^3$ – 27.

Tính bằng cách hợp lý:

a) ${19}^3$;                   b) ${201}^3$.

c) ${99}^3$ + 1;             d) ${52}^3$ – 8.

Tính giá trị biểu thức:

a) M = (7 – m)(${\mathrm{m}}^2$ + 7m + 49) – (64 – ${\mathrm{m}}^3$) tại m = 2017;

b*) N = 8${\mathrm{a}}^3$ – 27${\mathrm{b}}^3$ biết ab = 12 và 2a – 3b = 5;

c) K = ${\mathrm{a}}^3$ + ${\mathrm{b}}^3$ + 6${\mathrm{a}}^2$${\mathrm{b}}^2$(a + b) + 3ab(${\mathrm{a}}^2$ + ${\mathrm{b}}^2$) biết a + b = 1.

Tính giá trị biểu thức:

a) Q = (3x – 1)(9${\mathrm{x}}^2$ – 3x + 1) – (1 – 3x)(1 + 3x + 9${\mathrm{x}}^2$) tại x = 10;

b*) $\mathrm{P}={\left(\frac{\mathrm{x}}{4}\right)}^3+{\left(\frac{\mathrm{y}}{2}\right)}^3$ biết xy = 4 và x + 2y = 8.

Đơn giản biểu thức:

a) $\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{1}{4}\right);$              b) (x – 3y)(${\mathrm{x}}^2$ + 3xy + 9${\mathrm{y}}^2$);

c) (${\mathrm{x}}^2$ – 3)(${\mathrm{x}}^4$ + 3${\mathrm{x}}^2$ + 9);             d) (2x – 1)(4${\mathrm{x}}^2$ + 2x + 1).

Rút gọn biểu thức:

a) 3(1 – a)(9${\mathrm{a}}^2$ + 9a + 9) + 81a(a – 1);

b*) ${(\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c})}^3 + {(\mathrm{a} – \mathrm{b} – \mathrm{c})}^3$.

Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

a) A = $3{(\mathrm{x} – 1)}^2 – {(\mathrm{x} + 1)}^2$ + 2(x – 3)(x + 3) – ${(2\mathrm{x} + 3)}^2$ – (5 – 20x);

b) B = $-\mathrm{x}{(\mathrm{x} + 2)}^2 + {(2\mathrm{x} + 1)}^2$ + (x + 3)(${\mathrm{x}}^2$ – 3x + 9) – 1.

Tính giá trị biểu thức:

a) A = $2({\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{y}}^3) – 3({\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2)$ biết x + y = 1;

b) B = ${\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{y}}^3$ + 3xy biết x + y = 1.

Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:

${(\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c})}^3 = {\mathrm{a}}^3 + {\mathrm{b}}^3 + {\mathrm{c}}^3$ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng ${\mathrm{a}}^3 + {\mathrm{b}}^3 + {\mathrm{c}}^3$ = 3abc.