Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng ${\mathrm{a}}^3 + {\mathrm{b}}^3 + {\mathrm{c}}^3$ = 3abc.

Cách 1. Ta có:

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + 3(a + b)²c + 3(a + b)c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3ac² + 3bc²) + (3b²c + 3abc)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3c²(a + b) + 3bc(b + a)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + c² + bc)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[(ab + ac) + (c² + bc)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[a(b + c) + c(c + b)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c).

Theo bài, a + b + c = 0 nên ta có:

a + b = –c; b + c = –a; c + a = –b.

Khi đó a³ + b³ + c³ + 3.(–c).(–a).(–b) = 0

Hay a³ + b³ + c³ = 3abc.

Cách 2: Theo bài, a + b + c = 0 nên ta có: a = –(b + c) và a + b = –c.

Khi đó:

a³ = [–(b + c)]³

= –(b³ + c³ + 3a²b + 3ab²)

= –b³ – c³ – 3ab(a + b)

= –b³ – c³ + 3abc

Do đó a³ + b³ + c³ = 3abc.