Tứ giác ABCD có $\widehat{B}+\widehat{D}=180°,$ CB=CD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của giác A

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, $AB=8cm, BC=7cm, AD=4cm.$ Tính độ dài CD

Tứ giác ABCD có $\widehat{A}-\widehat{B}=50°.$ Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại I và $\widehat{CID}=115°.$ Tính các góc A và B

Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng minh rằng

a) Nếu $\widehat{BAD}=130°, \widehat{BCD}=50°$ thì IE vuông góc với IF.

b) Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối của tứ giác ABCD.

So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD.

Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB=6, OA=8, OB=4, OD=6. Tính độ dài AD.

Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cùng có thể chọn được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

Cho tam giác ABC có BC=a các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.

Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo bởi hai đường chéo hình thang.

Hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90°,$ đáy nhỏ AB=11cm, AD=12cm, BC=13cm. Tính độ dài AC

Hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, $\widehat{AED}=90°.$

Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc D.

Hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác cân: tam giác ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D. Tính các góc của hình thang cân đó.

Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA>MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB, DM, DA. Chứng minh rằng EFIK là hình thang cân và $KF=\frac{1}{2}CD$

Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC, đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.

Cho tam giác ABC, trọng tâm G.

a) Vẽ đường thẳng d qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A', B', C' là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA', BB', CC'

b) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d thì các độ dài AA', BB', CC', GG' có liên hệ gì?

Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N trên đoạn thẳng AB.

Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh rằng $EF\le \frac{AB+CD}{2}$

b) Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì $EF=\frac{AB+CD}{2}$

Tứ giác ABCD có AB=CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.

Trong tứ giác ABCD, gọi A’, B’, C’ D’ thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng bốn đường thẳng  đồng quy.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.

b) Chứng minh rằng HE=HF.

Tứ giác ABCD có B và c nằm trên đường tròn có đường kính là AD. Tính độ dài CD biết rằng AD=8, AB=BC=2

Dựng tam giác ABC, biết AC=b, AB=c, $\widehat{B}=\widehat{C}=\alpha .$

Chứng minh rằng tồn tại một hình thang có độ dài bốn cạnh bằng độ dài bốn cạnh của một tứ giác cho trước.

Dựng hình thang ABCD (AB//CD), biết: AB=1cm, AD=2cm, BC=3cm, CD=3cm

Dựng hình thang ABCD (AB//CD), biết: AB=a, CD=b, AC=c, BD=d