Cho hình chữ nhật ABCD.

a) Chứng minh rằng nếu M là một điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật thì $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2+M{D}^2.$

b) Kết quả trên có thay đổi không nếu điểm M nằm ngoài hình chữ nhật?

Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABDE, ACFG, BCHK. Chứng minh rằng các đường trung trực của EG, FH, KD đồng quy.

Tứ giác ABCD có $\widehat{C}=40°,\widehat{D}=80°,AD=BC.$ Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Tính $\widehat{EFD},\widehat{EFC}.$

Xác định dạng của một tứ giác, biết rằng

a) Tứ giác đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau và không đi qua đỉnh của tứ giác;

b) Tứ giác đó có hai trục đối xứng là hai đường chéo của nó.

Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.

Cho hình bình hành ABCD, $AB=2AD, \widehat{D}=70°.$ Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính số đo góc HMC.

Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình thoi ABCD, E và F theo thứ tự là hình chiếu của O trên BC và CD. Tính các góc của hình thoi biết rằng EF bằng một phần tư đường chéo của hình thoi.

Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD, lấy theo thứ tự các điểm E, M, N, F sao cho $BM=DN, BE=DF.$ Gọi I, O, K theo thứ tự là trung điểm của EF, BD, MN.

a) Chứng minh rằng ba điểm I, O, K thẳng hàng.

b) Trong trường hợp nào thì cả năm điểm A, I, O, K, C thẳng hàng?

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O và chu vi các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Xác định dạng của tứ giác DEIF.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.

Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng $AE\perp BC.$

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D,H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.

Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình vuông.

Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng mình rằng:

a) BM vuông góc với EF.

b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ECD cân có góc đáy bằng $15°.$ Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Cho tam giác ABC cân tại A, góc đáy $75°$ và hình vuông BDEC (các điểm A, D, E nằm cùng phía đối với BC). Hãy xác định dạng của tam giác ADE.

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi $\widehat{EAF}=45°$

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Tia phân giác của góc MCD cắt cạnh AD ở N. Cho biết $BM=m, DN=n.$ Tính độ dài CM theo m và n.

Cho hình vuông A’B’C’D’  nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều là như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt qua B, C, D và từ A’ lần lượt qua B’,C’,D’ là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA’,BB’,CC’,DD’ là đỉnh của một hình vuông.

Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE=EF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính $\widehat{CHF}$.

Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng $BI\le 2MI.$

Vẽ ra phía ngoài của một tam giác các hình vuông có cạnh là cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tất các hình vuông dựng trên hai cạnh kia bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước.

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự là M, N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.

a) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông.

b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường nào?

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA dựng ra phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.

Cho bốn điểm E, G, F, H. Dựng hình vuông ABCD có bốn đường thẳng chứa cạnh đi qua bốn điểm E, G, F. H.

Cho ba điểm E, O, F. Dựng hình vuông ABCD nhận O làm giao điểm hai đường chéo, E và F thứ tự thuộc:

a) Các đường thẳng AB và CD

b) Các đường thẳng AB và BC

Cho ba đường thẳng a, b, d. Dựng hình vuông ABCD có A thuộc a, C thuộc b, còn B và D thuộc d.