Cho hình vuông A’B’C’D’  nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều là như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt qua B, C, D và từ A’ lần lượt qua B’,C’,D’ là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA’,BB’,CC’,DD’ là đỉnh của một hình vuông.

Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng $AE\perp BC.$

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D,H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.

Tứ giác ABCD có $\widehat{C}=40°,\widehat{D}=80°,AD=BC.$ Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Tính $\widehat{EFD},\widehat{EFC}.$

Cho hình chữ nhật ABCD.

a) Chứng minh rằng nếu M là một điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật thì $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2+M{D}^2.$

b) Kết quả trên có thay đổi không nếu điểm M nằm ngoài hình chữ nhật?

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi $\widehat{EAF}=45°$

Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.

Vẽ ra phía ngoài của một tam giác các hình vuông có cạnh là cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tất các hình vuông dựng trên hai cạnh kia bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước.

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự là M, N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.

a) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông.

b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường nào?