Bài tập Toán 8: Biến đổi các biểu thức hữu tỷ. Giá trị của phân thức

Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $\mathrm{A}=\frac{2+\frac{1}{\mathrm{x}}}{2-\frac{1}{\mathrm{x}}}$ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \frac{1}{2}$ 

b) $\mathrm{B}=\frac{1+\frac{4}{\mathrm{a}-2}}{1+\frac{2\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+4}}$ với $\mathrm{a}\ne \pm 2.$

Đưa các biểu thức sau thành phân thức:

a) $\mathrm{M}=\frac{\frac{\mathrm{y}}{4}-2+\frac{15}{4\mathrm{y}}}{\frac{\mathrm{y}}{2}+\frac{6}{\mathrm{y}}-\frac{7}{2}}$ với $\mathrm{y}\ne 0;\mathrm{y}\ne 3$ và $\mathrm{y}\ne 4$ 

b) $\mathrm{N}=\frac{3\mathrm{b}-\frac{1}{9{\mathrm{b}}^2}}{1+\frac{1}{3\mathrm{b}}+\frac{1}{9{\mathrm{b}}^2}}$ với $\mathrm{b}\ne 0.$

Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định:

a) $\frac{5\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+6};$             b) $\frac{8}{{\mathrm{x}}^2-4};$

c) $\frac{2\mathrm{x}+1}{4{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}};$          d) $\frac{\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^3-27}.$

Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{4\mathrm{m}}{3\mathrm{m}-8};$              b) $\frac{3\mathrm{n}-6}{{\mathrm{n}}^2-2\mathrm{n}};$

c) $\frac{3}{{\mathrm{v}}^2+5};$               d) $\frac{2{\mathrm{u}}^2}{{\mathrm{u}}^3-3\mathrm{u}+2}.$

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\mathrm{P}=(4{\mathrm{x}}^2-1)\left(\frac{1}{2\mathrm{x}-1}-\frac{1}{2\mathrm{x}+1}-1\right)$ với $\mathrm{x}\ne \pm \frac{1}{2};$ 

b) $\mathrm{Q}=\left(\frac{3}{\mathrm{x}+3}-\frac{9}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}\right)$$:\left(\frac{3}{{\mathrm{x}}^2-9}+\frac{1}{3-\mathrm{x}}\right)$ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \pm 3$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\mathrm{A}=\left(\frac{4\mathrm{a}+\mathrm{b}}{{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{ab}}+\frac{4\mathrm{a}-\mathrm{b}}{{\mathrm{a}}^2+4\mathrm{ab}}\right).\frac{{\mathrm{a}}^2-16{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \pm 3$ 

b) $\mathrm{B}=\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+2}+1\right):\left(1-\frac{3{\mathrm{t}}^2}{4-{\mathrm{t}}^2}\right)$ với $\mathrm{t}\ne \pm 1$ và $\mathrm{t}\ne \pm 2$

Cho biểu thức: $\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+12}+\frac{\mathrm{x}-6}{\mathrm{x}}+\frac{108-6\mathrm{x}}{2\mathrm{x}(\mathrm{x}+6)}.$ 

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đuợc xác định;

b) Rút gọn phân thức;

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng $\frac{3}{2}$ 

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng $\frac{-9}{2}$ 

e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.

Cho phân thức $\frac{{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+25}{\mathrm{x}+5}.$ 

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức;

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1;

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không?

Cho phân thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-1}$ với $\mathrm{x}\ne 1.$ 

a) Tìm x để A > 1;

b) Tìm x $\in$Z để A$\in$Z.

a) Tìm x để phân thức $\mathrm{M}=\frac{8}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+12}$ đạt giá trị lớn nhất;

b) Tìm x để phân thức $\mathrm{N}=\frac{-5}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+11}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho biểu thức $\mathrm{C}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-2}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+4}{\mathrm{x}}-4\right)+3.$ 

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C;

b) Rút gọn biểu thức C;

c) Tìm x để C có giá trị nhỏ nhất.

Đưa các biểu thức sau thành phân thức:

a) $\mathrm{A}=\frac{\frac{2\mathrm{a}}{\mathrm{a}-3}+1}{\frac{3}{{\mathrm{a}}^2-9}}$ với $\mathrm{a}\ne \pm 3;$ 

b) $\mathrm{B}=\frac{1-\frac{6}{\mathrm{b}+3}}{1-\frac{{\mathrm{b}}^2-10}{{\mathrm{b}}^2-9}}$ với $\mathrm{b}\ne \pm 3.$

Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $\mathrm{M}=\frac{4-\frac{4\mathrm{n}}{\mathrm{m}}+\frac{{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{m}}^2}}{\frac{1}{\mathrm{m}}-\frac{2}{\mathrm{n}}}$ với $\mathrm{m}\ne 0,\mathrm{n}\ne 0,\mathrm{n}\ne 2\mathrm{m};$ 

b) $\mathrm{N}=\frac{1}{3}+\frac{\mathrm{x}}{1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}}$ với $\text{x≠−3.}$

Tìm a để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định:

a) $\frac{{\mathrm{a}}^2-1}{9{\mathrm{a}}^2-16};$                   b)  $\frac{2\mathrm{a}+1}{{\mathrm{a}}^2-6\mathrm{a}+9};$ 

c) $\frac{3\mathrm{a}-4}{2{\mathrm{a}}^2+3\mathrm{a}};$                   d) $\frac{\mathrm{a}+1}{{\mathrm{a}}^3-4{\mathrm{a}}^2+3\mathrm{a}}.$

Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2+1};$                   b) $\frac{\mathrm{u}-3\mathrm{v}}{{(\mathrm{u}-1)}^2+{(\mathrm{v}+2)}^2}.$

Rút gọn biểu thức:

a) $\mathrm{P}=\left[\frac{1}{{(\mathrm{x}-2\mathrm{y})}^2}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{y}}^2}+\frac{1}{{(\mathrm{x}+2\mathrm{y})}^2}\right]$$.\frac{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{xy}+4{\mathrm{y}}^2}{16\mathrm{x}}$ 

b) $\mathrm{Q}=\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+16}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+16}\right)$$:\left(\frac{1}{\mathrm{x}+4}+\frac{1}{\mathrm{x}-4}\right).$

Rút gọn biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}}{2\mathrm{a}+10}+\frac{\mathrm{a}-5}{\mathrm{a}}+\frac{50-5\mathrm{a}}{2\mathrm{a}(\mathrm{a}+5)}.$ 

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;

b) Rút gọn biểu thức;

c) Tính giá trị của biểu thức tại a = -1

d) Tìm giá trị của a để A = 0.

Cho biểu thức sau: $\mathrm{D}=\frac{{(\mathrm{x}+2)}^2}{\mathrm{x}}.\left(1-\frac{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}+2}\right)-\frac{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}}.$ 

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức D;

b) Rút gọn biểu thức D;

c) Tìm giá trị x để D có giá trị lớn nhất.

a) Cho biểu thức $\mathrm{E}=\frac{{\left(\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}\right)}^2}{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{2}{\mathrm{x}+1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}+1\right)\right]}.$ 

Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức E  luôn bằng 1 với mọi giá trị $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne -1$

b) Cho biểu thức $\mathrm{F}=\left(\frac{\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-2}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2-1}-\frac{\mathrm{x}+3}{2\mathrm{x}+2}\right).\frac{4{\mathrm{x}}^2-4}{5}.$ 

Chứng minh rằng với những giá trị của x hàm F xác định thì giá trị của F không phụ thuộc vào x.

Cho biến thức sau: $\mathrm{Q}=\left(\frac{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}{2{\mathrm{x}}^2+8}-\frac{2{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-8}\right)$$.\left(\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{1-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right).$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức Q;

b) Rút gọn biểu thức Q;

c) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 2017;

d) Tìm x để biểu thức Q > $\frac{1}{2}$ 

e) Tìm x$\in$Z để giá trị biểu thức Q$\in$Z.