Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I.

a) Tứ giác AMCK là hình gì ?

b) Tứ giác AKMB là hình gì ?

c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi không ? Vì sao ?

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng của điểm M qua điểm D.

a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB.

b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì ?

c) Cho BC = 4 cm. Tính chu vi tứ giác AEBM.

d) Tam giác vuông ABC thỏa điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE.

a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.

c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM.

          a) Chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}.$ 

          b) Trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng BC, lấy điểm D sao cho MD = MA (D và A thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC). Chứng minh rằng AD là phân giác chung của $\widehat{MAH}\&\widehat{CAB}.$

          c) Từ D kẻ DE, DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì ?

          d) Chứng minh $\Delta DBE=\Delta DCF$

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D.

          a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông cân.

          b) Từ A hạ AH ^ BE, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

          c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB.

          d) Chứng minh $\widehat{ANC}={90}^0.$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG.

          a) Chứng minh tứ giác BCGE là hình thang cân.

          b) Gọi K là giao điểm của các tia DE và FG, M là trung điểm của đoạn thẳng EG. Chứng minh ba điểm K, A, M thẳng hàng.

          c) Chứng minh  

          d) Chứng minh DC, FB và AM đồng quy.

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.

          a) Tứ giác OBKC là hình gì ?

          b) Chứng minh AB = OK.

          c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông.

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và $\widehat{BAC}={60}^0.$ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

          a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi.

          b) Tứ giác ABED là hình gì ?

          c) Tính số đo của góc $\widehat{AED}.$

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N.

          a) Tứ giác EMFN là hình gì ?

          b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình thoi.

          c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi L là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.

          a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK.

          b) Chứng minh H đối xứng với K qua A.

          c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông ?

Trên các cạnh của một hình bình hành, dựng về phía ngoài nó các hình vuông. Chứng minh rằng nếu nối tâm các hình vuông này, ta được một hình vuông.