Cho tam giác ABC. Qua điểm O nằm bên trong tam giác, vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia tam giác thành ba hình bình hành và ba tam giác nhỏ.

1. Biết diện tích tam giác ABC bằng $81c{m}^2$, hai trong ba tam giác nhỏ có diện tích bằng $4c{m}^2$ và $16c{m}^2$. Tính diện tích tam giác còn lại.

2. Chứng minh rằng tổng diện tích của ba tam giác nhỏ lớn hơn hoặc bằng  diện tích tam giác ABC. Điểm O ở vị trí nào thì xảy ra dấu bằng?

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.

1. Chứng minh $CM.DN=a^2$

2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh $\widehat{MKN}=90°$.

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cạnh BC thì:

1. Chu vi tứ giác MEAF không đổi

2. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn luôn đi qua một điểm K cố định.

3. Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.

Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất.

Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = 2 cm, điểm F thuộc cạnh BC sao cho BF = 3 cm. Dựng các điểm G, H theo thứ tự thuộc các cạnh CD, AD sao cho EFGH là hình thang.

1. Có đáy EH, FG và có diện tích nhỏ nhất.

2. Có đáy EF, GH và có diện tích lớn nhất.