Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên 1 ; 3, fx≠0 với mọi x∈1 ;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b a∈ℤ, b∈ℤ, tính tổng S=a+b2. A. S=0 B. S=2 C. S=−1 D. S=...

Với x∈1; 3 ta có: f'x1+fx2=fx2x−12⇔f'x1+fx2fx4=x−12. ⇔1fx4+2fx3+1fx2f'x=x2−2x+1Suy ra: −13fx3−1fx2−1fx=x33−x2+x+C (lấy nguyên hàm hai vế).Ta lại có: f1=−1⇒13−1+1=13−1+1+C⇒C=0.Dẫn đến: −131fx3−1fx2−1fx=−13−x3−−x2−−x *.Vì hàm số gt=−13t3−t2−t nghịch biến trên R nên *⇒1fx=−x⇒fx=−1x.Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.Do đó ∫13fxdx=∫13−1xdx=−ln3⇒a=−1, b=0. Vậy S=a+b2=−1. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

15/04/2022 148

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm $f^{'} (x)$ liên tục trên $[1; 3]$ , $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và $f (1) = - 1$ . Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b (a \in ℤ, b \in ℤ)$ , tính tổng $S = a + b^{2}$ .

A. $S = 0$

B. $S = 2$

C. $S = - 1$

Đáp án chính xác

D. $S = 4$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với

x \in [1; 3]

ta có:

f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} = {(x - 1)}^{2}

.

\Leftrightarrow (\frac{1}{{[f (x)]}^{4}} + \frac{2}{{[f (x)]}^{3}} + \frac{1}{{[f (x)]}^{2}}) f^{'} (x) = x^{2} - 2 x + 1

Suy ra:

- \frac{1}{3 {[f (x)]}^{3}} - \frac{1}{{[f (x)]}^{2}} - \frac{1}{f (x)} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C

(lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có:

f (1) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 + C \Rightarrow C = 0

.
Dẫn đến:

- \frac{1}{3} {(\frac{1}{f (x)})}^{3} - {(\frac{1}{f (x)})}^{2} - \frac{1}{f (x)} = - \frac{1}{3} {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} - (- x) (*)

.
Vì hàm số

g (t) = - \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} - t

nghịch biến trên R nên

(*) \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = - x \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{x}

.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó

\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} (- \frac{1}{x}) d x = - \ln 3 \Rightarrow a = - 1, b = 0

. Vậy

S = a + b^{2} = - 1

.

Chọn đáp án C

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 36$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 6$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Xem đáp án » 15/04/2022 4,466

Câu 2:

Có bao nhiêu số nguyên dương n để $\log_{n} 256$ là một số nguyên dương?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án » 15/04/2022 2,571

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án » 15/04/2022 1,384

Câu 4:

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

A. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = - 7$

B. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 14$

C. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 13$

D. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 7$

Xem đáp án » 14/04/2022 1,348

Câu 5:

Cho hàm số có $f^{'} (x)$ và $f^{''} (x)$ liên tục trên R. Biết $f^{'} (2) = 4$ và $f^{'} (- 1) = - 2,$ tính $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x$

A. -8

B. -6

C. 6

D. 2

Xem đáp án » 15/04/2022 1,348

Câu 6:

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{5}{6}$

C. $P = \frac{1}{5}$

D. $P = \frac{2}{3}$

Xem đáp án » 15/04/2022 1,130

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (3; 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0.$ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \end{cases} .$

Xem đáp án » 15/04/2022 782

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

Có bao nhiêu số nguyên dương n để $\log_{n} 256$ là một số nguyên dương?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

Cho hàm số có $f^{'} (x)$ và $f^{''} (x)$ liên tục trên R. Biết $f^{'} (2) = 4$ và $f^{'} (- 1) = - 2,$ tính $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x$

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (3; 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0.$ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên 1 ; 3, fx≠0 với mọi x∈1 ;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b a∈ℤ, b∈ℤ, tính tổng S=a+b2.

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M3;−2;5, N−1;6;−3. Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

Có bao nhiêu số nguyên dương n để logn256 là một số nguyên dương?

Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x=x+14x−m5x+33 với mọi x∈ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈−5;5 để hàm số gx=fx có 3 điểm cực trị?

Cho biết ∫03fxdx=3, ∫05ftdt=10. Tính ∫352fzdz.

Cho hàm số có f'x và f''x liên tục trên R. Biết f'2=4 và f'−1=−2, tính ∫−12f''xdx

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;−1) và mặt phẳng (P):x+z−2=0.Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

Có bao nhiêu số nguyên dương n để $\log_{n} 256$ là một số nguyên dương?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

Cho hàm số có $f^{'} (x)$ và $f^{''} (x)$ liên tục trên R. Biết $f^{'} (2) = 4$ và $f^{'} (- 1) = - 2,$ tính $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x$

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (3; 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0.$ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là