Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên 1 ; 3, fx≠0 với mọi x∈1 ;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b a∈ℤ, b∈ℤ, tính tổng S=a+b2. A. S=0 B. S=2 C. S=−1 D. S=...

Với x∈1; 3 ta có: f'x1+fx2=fx2x−12⇔f'x1+fx2fx4=x−12. ⇔1fx4+2fx3+1fx2f'x=x2−2x+1Suy ra: −13fx3−1fx2−1fx=x33−x2+x+C (lấy nguyên hàm hai vế).Ta lại có: f1=−1⇒13−1+1=13−1+1+C⇒C=0.Dẫn đến: −131fx3−1fx2−1fx=−13−x3−−x2−−x *.Vì hàm số gt=−13t3−t2−t nghịch biến trên R nên *⇒1fx=−x⇒fx=−1x.Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.Do đó ∫13fxdx=∫13−1xdx=−ln3⇒a=−1, b=0. Vậy S=a+b2=−1. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

15/04/2022 191

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm $f^{'} (x)$ liên tục trên $[1; 3]$ , $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và $f (1) = - 1$ . Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b (a \in ℤ, b \in ℤ)$ , tính tổng $S = a + b^{2}$ .

A. $S = 0$

B. $S = 2$

C. $S = - 1$

D. $S = 4$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với

x \in [1; 3]

ta có:

f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} = {(x - 1)}^{2}

\Leftrightarrow (\frac{1}{{[f (x)]}^{4}} + \frac{2}{{[f (x)]}^{3}} + \frac{1}{{[f (x)]}^{2}}) f^{'} (x) = x^{2} - 2 x + 1

Suy ra:

- \frac{1}{3 {[f (x)]}^{3}} - \frac{1}{{[f (x)]}^{2}} - \frac{1}{f (x)} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C

(lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có:

f (1) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 + C \Rightarrow C = 0

.
Dẫn đến:

- \frac{1}{3} {(\frac{1}{f (x)})}^{3} - {(\frac{1}{f (x)})}^{2} - \frac{1}{f (x)} = - \frac{1}{3} {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} - (- x) (*)

.
Vì hàm số

g (t) = - \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} - t

nghịch biến trên R nên

(*) \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = - x \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{x}

.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó

\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} (- \frac{1}{x}) d x = - \ln 3 \Rightarrow a = - 1, b = 0

. Vậy

S = a + b^{2} = - 1

Chọn đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 36$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 6$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Lời giải

Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn

M N \Rightarrow I (1; 2; 1)

.
Bán kính mặt cầu

R = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(6 + 2)}^{2} + {(- 3 - 5)}^{2}}}{2} = 6

.
Vậy phương trình mặt cầu là

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36

Chọn đáp án B

Câu 2

Có bao nhiêu số nguyên dương n để $\log_{n} 256$ là một số nguyên dương?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

\log_{n} 256 = 8. \log_{n} 2 = \frac{8}{\log_{2} n}

là số nguyên dương

\Leftrightarrow \log_{2} n \in \{1; 2; 4; 8\} \Leftrightarrow n \in \{2; 4; 16; 256\}

.
Vậy có 4 số nguyên dương.

Chọn đáp án A

Câu 3

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{5}{6}$

C. $P = \frac{1}{5}$

D. $P = \frac{2}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (3; 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0.$ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \end{cases} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

A. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = - 7$

B. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 14$

C. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 13$

D. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 7$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 3

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số có $f^{'} (x)$ và $f^{''} (x)$ liên tục trên R. Biết $f^{'} (2) = 4$ và $f^{'} (- 1) = - 2,$ tính $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x$

A. -8

B. -6

C. 6

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học