Câu hỏi:

13/07/2024 331

Cho dãy số (u_n) có: $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 10 u_{n} - 9 n + 1 (n \geq 1) \end{cases} .$

1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

2. Số hạng u_k = 100006 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. Gọi $(v_{n})$ là dãy số thỏa mãn: $u_{n} = v_{n} + n (n \geq 1) .$

Khi đó, $u_{n + 1} = 10 u_{n} - 9 n + 1 \Leftrightarrow v_{n + 1} + n + 1 = 10 (v_{n} + n) - 9 n + 1 \Leftrightarrow v_{n + 1} = 10 v_{n}$

$\Rightarrow v_{n}$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_{1} = u_{1} - 1 = 1$ và công bội q = 10

$\Rightarrow v_{n} = {1.10}^{n - 1} = 10^{n - 1} \Rightarrow u_{n} = 10^{n - 1} + n$

Vậy số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_{n} = 10^{n - 1} + n .$

2. Ta có $u_{k} = 100006 \Rightarrow 10^{k - 1} + k = 100006$

$\Leftrightarrow 10^{k - 1} + k = 100000 + 6 \Leftrightarrow 10^{k - 1} + k = 10^{5} + 6 \Leftrightarrow k = 6.$

Vậy số hạng $u_{k} = 100006$ là số hạng thứ 6 của dãy.

3. Ta có

$u_{1} = 10^{0} + 1 u_{2} = 10^{1} + 2 u_{3} = 10^{2} + 3 \begin{array}{l} .... \\ u_{100} = 10^{99} + 100 \end{array}$

=> Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

$\begin{array}{l} S_{100} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{100} = 10^{0} + 1 + 10^{1} + 2 + 10^{2} + 3 + . . . + 10^{99} + 100 \\ \Leftrightarrow S_{100} = (10^{0} + 10^{1} + 10^{2} + . . . + 10^{99}) + (1 + 2 + 3 + . . . + 100) \\ \Leftrightarrow S_{100} = 10^{0} . \frac{10^{100} - 1}{10 - 1} + \frac{(1 + 100) .100}{2} = \frac{10^{100} - 1}{9} + 5050 \end{array}$

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là $S_{100} = \frac{10^{100} - 1}{9} + 5050.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi $8 π$ cm (xem hình vẽ). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu?

A. 10 cm

B. 9 cm

C. 8 cm

D. 12 cm

Lời giải

Đáp án D

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng (ảnh 2)

Gọi l là chiều cao của khối trụ cần tìm ta có $l = 2. \frac{4}{3} h = \frac{8}{3} h .$

Cắt chiếc đồng hồ cát theo một mặt phẳng chứa trục dọc

của nó và gắn hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là điểm giao

giữa hai Parabol, mỗi đơn vị trên trục dài 1cm.

Khi đó gọi B là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc ban đầu,

A là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc còn 4 cm và C

là điểm nằm ngang với A trên thành Parabol phía trên

như hình vẽ. Theo giả thiết $8 π = 2 π A C \Rightarrow A C = 4 \Rightarrow C (4; 4)$

suy ra (P) có phương trình $y = \frac{1}{4} x^{2} .$

Thể tích ban đầu của cát là 12,72.10 = 127,2cm³

Thể tích này bằng thể tích của khối tròn xoay khi

quay hình phẳng giới hạn bởi đường $(P) : y = \frac{1}{4} x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 4 y$

và các đường y = 0; y = h xoay quanh trục Oy

Vậy ta có $π \int_{0}^{h} 4 y d y = 127, 2 \Rightarrow 2 π h^{2} = 127, 2 \Rightarrow h \approx 4, 5 \Rightarrow l \approx 12 c m .$

Câu 2

Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Radi $^{226} R a$ là 1602 năm (tức là một lượng $^{226} R a$ sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức $S = A . e^{r t}$ trong đó là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0) là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam $^{226} R a$ sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?

A. 0,886 gam.

B. 1,023 gam.

C. 0,795 gam.

D. 0,923 gam.

Lời giải

Đáp án A

Ta có $\frac{A}{2} = A . e^{r .1602} \Leftrightarrow r = - \frac{\ln 2}{1602} .$

Thay $A = 5, t = 4000, r = - \frac{\ln 2}{1602} .$

=> $S = 5. e^{- \frac{\ln 2}{1602} .4000} \approx 0, 886$

Câu 3

Biết rằng $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{- 4 \sin x + 7 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} d x = a + 2 \ln \frac{b}{c}$ với $a > 0; b, c \in ℕ^{*}; \frac{b}{c}$ tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức P = a - b + c

A. $π - 1.$

B. $\frac{π}{2} + 1.$

C. $\frac{π}{2} - 1.$

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Theo thống kê của Sở GD&ĐT Hà Nội, năm học 2018-2019, dự kiến toàn thành phố có 101.460 học sinh xét tốt nghiệp THCS, giảm khoảng 4.000 học sinh so với năm học 2017-2018. Kỳ tuyển sinh vào THPT công lập năm 2019-2020 sẽ giảm 3.000 chỉ tiêu so với năm 2018-2019. Số lượng học sinh kết thúc chương trình THCS năm học 2018-2019 sẽ được phân luồng trong năm học 2019-2020 như biểu đồ hình bên.

1. Theo dự kiến trong năm học 2019-2020, Sở GD&ĐT Hà Nội sẽ tuyển khoảng bao nhiêu học sinh vào trường THPT công lập? Bao nhiêu học sinh được tuyển vào các cơ sở giáo dục nghề nghiệp? (làm tròn đến hàng trăm)

2. Chỉ tiêu vào THPT công lập nhiều hơn chỉ tiêu vào THPT ngoài công lập bao nhiêu phần trăm?

3. Trong năm học 2018-2019 Hà Nội đã dành bao nhiêu phần trăm chỉ tiêu vào THPT công lập?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Người ta xây dựng một hình tháp bằng cách xếp các khối lập phương chồng lên nhau theo quy luật khối lập phương phía trên có độ dài của một cạnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài của một cạnh của khối lập phương ở liền phía dưới của nó. Giả sử khối lập phương ở dưới cùng có độ dài của một cạnh là 5m. Gọi S là chiều cao tối đa của tháp có thể xây dựng được. Chọn khẳng định đúng.

A. 5 < S < 8

B. 8 < S < 12

C. 12 < S < 16

D. 16 < S < 20

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng $36 π,$ bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là

A. $r = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

B. $r = \frac{3}{2} .$

C. $r = 2 \sqrt{2} .$

D. r = 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4^o. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó.

A. 126^o.

B. 26^o.

C. 60^o.

D. 162^o.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho dãy số (un) có: u1=2un+1=10un−9n+1 n≥1. 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) 2. Số hạng uk = 100006 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Biết rằng I=∫0π2−4sinx+7cosx2sinx+3cosxdx=a+2lnbc với a>0; b, c∈ℕ*; bc tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức P = a - b + c

Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng 36π, bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là

Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4o. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho dãy số (u_n) có: $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 10 u_{n} - 9 n + 1 (n \geq 1) \end{cases} .$

1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

2. Số hạng u_k = 100006 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Biết rằng $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{- 4 \sin x + 7 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} d x = a + 2 \ln \frac{b}{c}$ với $a > 0; b, c \in ℕ^{*}; \frac{b}{c}$ tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức P = a - b + c

Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng $36 π,$ bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là

Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4^o. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó.