Câu hỏi:

05/05/2022 1,412

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 3; -2), B(0; 4; 7), C(5; -1; 2) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $|\vec{M A} - 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ bằng

A. 56.

B. 106.

C. 105.

D. 23.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Gọi $I (x_{I}; y_{I}; z_{I})$ là điểm thỏa mãn $\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C} = \vec{0}$

Suy ra $\{\begin{cases} 1 - x_{I} - 2 (0 - x_{I}) + 3 (5 - x_{I}) = 0 \\ 3 - y_{I} - 2 (4 - y_{I}) + 3 (- 1 - y_{I}) = 0 \\ - 2 - z_{I} - 2 (7 - z_{I}) + 3 (2 - z_{I}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{I} = 8 \\ y_{I} = - 4 \\ z_{I} = - 5 \end{cases} \Rightarrow I (8; - 4; - 5)$

Khi đó

$|\vec{M A} - 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}| = |\vec{M I} + \vec{I A} - 2 (\vec{M I} + \vec{I B}) + 3 (\vec{M I} + \vec{I C})|$

$= |2 \vec{M I} + \vec{I A} - 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C}| = |2 \vec{M I}| = 2 M I$

Biểu thức $|\vec{M A} - 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy M(a; b; c) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Mặt khác, mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$ .

Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra $Δ$ : $\{\begin{cases} x = 8 + t \\ y = - 4 + t \\ z = - 5 + t \end{cases}$

Khi đó $M = Δ \cap (P)$ , tọa độ của M là nghiệm của hệ sau

$\{\begin{cases} x = 8 + t \\ y = - 4 + t \\ z = - 5 + t \\ x + y + z - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 9 \\ y = - 3 \\ z = - 4 \end{cases} \Rightarrow M (9; - 3; - 4)$

Vậy $\{\begin{cases} a = 9 \\ b = - 3 \\ c = - 4 \end{cases} \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 106$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất,... Xét một Lavabo làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo dài x rộng là 660 x 380 mm. Biết rằng Lavabo có độ dày đều là 20 mm.

A. 18,66dm³

B. 18,76dm³

C. 18,86dm³

D. 18,96dm³

Lời giải

Đáp án B

Rìa trong của Lavabo là một elip có bán trục lớn $a = \frac{660}{2} - 20 = 310 m m = 3, 1 d m$ , bán trục nhỏ $a = \frac{380}{2} - 20 = 170 m m = 1, 7 d m$ .

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khi qua elip quanh trục lớn, ta có $V = \frac{1}{2} . \frac{4}{3} π a b^{2} \approx 18, 76 d m^{3}$

Câu 2

Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.

A. $\frac{36}{285}$

B. $\frac{18}{285}$

C. $\frac{72}{285}$

D. $\frac{144}{285}$

Lời giải

Đáp án A

Ta có số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) = C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} C_{3}^{3}$ . Để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá thì:

- Chọn 2 học sinh giỏi và xếp vào 1 trong 4 nhóm: $C_{5}^{2} . C_{4}^{1}$ .

- Xếp 3 học sinh giỏi còn lại vào 3 nhóm còn lại: 3!.

- Xếp 4 học sinh khá vào 4 nhóm: 4!.

- Xếp 3 học sinh trung bình: 3!.

$\Rightarrow n (A) = C_{5}^{2} . C_{4}^{1} .3! .4! .3! \Rightarrow P (A) = \frac{36}{385}$ .

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $A B = \sqrt{3} a$ . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng

A. $\frac{\sqrt{39} a}{12}$

B. $\frac{\sqrt{2} a}{3}$

C. $\frac{\sqrt{39} a}{13}$

D. $\frac{\sqrt{2} a}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chia 150 cái kẹo giống nhau cho 5 người sao cho ai cũng có kẹo. Tính xác suất để mỗi người có ít nhất 10 cái kẹo (Làm tròn tới số thập phân thứ ba).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tập đoàn X có 6 công ty A, B, C, D, E, F. Trong năm 2020, tỷ lệ doanh thu của các công ty này được biểu thị như biểu đồ (hình bên).

1. Nếu doanh thu của công ty D là 650 tỷ đồng thì tổng doanh thu của công ty B và C là bao nhiêu tỷ đồng?

2. Doanh thu của công ty F nhiều hơn doanh thu của công ty D, C bao nhiêu phần trăm?

3. Nếu doanh thu của công ty E tăng 15% vào năm 2021 và doanh thu của các công ty khác không thay đổi thì tổng doanh thu của tập đoàn X tăng bao nhiêu phần trăm?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1} (t) = 2 t$ (m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12 (m / s^{2})$ . Tính quãng đường s(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1thỏa mãn

Khi đó, giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2c gần với giá nào nhất sau đây?

A. 8.

B. 9.

C. 7.

D. 10.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $A B = \sqrt{3} a$ . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng

Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1thỏa mãn

Khi đó, giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2c gần với giá nào nhất sau đây?