Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân, $AB=AC=a,AA\text{'}=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau   AB', BC'

Gọi đường cong tương ứng với vành trên và vành dưới của máng lần lượt là (P₁) và (P₂) 

Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó parabol (P₁) và (P₂) đều có dạng $y=a{x}^2+b$ 

(P₁) đi qua các điểm có tọa độ $\left(-1;2;0\right);\left(1;2;0\right);\left(0;0;5\right)$ 

(P₂) đi qua các điểm có tọa độ $\left(-1;0\right);\left(1;0\right);\left(0;0;3\right)$ 

Suy ra $\left(P_1\right):y=-\frac{25}{72}{x}^2+\frac{1}{2}$ và $\left(P_2\right):y=-\frac{3}{10}{x}^2+\frac{3}{10}$ 

Diện tích mặt cắt của máng parabol là

Số cách sắp xếp 7  người lên đoàn tàu 12 toa tàu là: 12⁷. Suy ra: $n\left(\Omega \right)={12}^7$ 

Để có đúng có 3 toa có người thì ta phải sắp xếp như sau:

+) Chọn 3 toa trong 12 toa có: $C_{12}^3$ 

+ Sắp xếp 7 hành khách vào 3 toa sao cho toa nào cũng có người thì có:

$C_7^1.C_6^1.C_5^5.P_3+C_7^1.C_6^2.C_4^4.P_3+C_7^1.C_6^3.C_3^3.P_3+C_7^2.C_5^2.C_3^3.P_3=2982$ 

Suy ra số cách sắp xếp để có đúng có 3 toa có người là: $n\left(A\right)=2982.C_{12}^3=65640$ 

Xác suất để đúng 3 toa có người là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{65640}{{12}^7}\approx 0,018$