Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log212x+x+212x+x=5. A. 1 B. 0 C. 2 D. 12

Đáp án DĐiều kiện: 12x+x>0⇔2x2+12x>0⇔x>0 (*)Đặt t=12x+x ⇒t≥212xx=212=2⇒PT⇔log2t+2t-5=0 (1)Ta có: f(t)=log2t+2t-5 với t≥2⇒f ' (t)=1t ln2+2t ln2>0 ∀t≥2⇒f(t) đồng biến trên (2; +∞)PT(1) có nghiệm⇔ f(t)=0 có nghiệm và nghiệm đó là duy nhấtDễ thấy t=2 là nghiệm của (1)⇒12x+x=2⇔2x2+1-4x=0⇔x1=2+22 và x2=2-22 ( TMĐK (*))→x1x2=12

Câu hỏi:

06/02/2021 10,352

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình $\log_{2} (\frac{1}{2 x} + x) + 2^{\frac{1}{2 x} + x} = 5$ .

A. 1

B. 0

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 237 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi Đại học có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Đ á p á n D Đ i ề u k i ệ n : \frac{1}{2 x} + x > 0 \Leftrightarrow \frac{2 x^{2} + 1}{2 x} > 0 \Leftrightarrow x > 0 (*) Đ ặ t t = \frac{1}{2 x} + x \Rightarrow t \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2 x} x} = 2 \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow P T \Leftrightarrow \log_{2} t + 2^{t} - 5 = 0 (1) T a c ó : f (t) = \log_{2} t + 2^{t} - 5 v ớ i t \geq \sqrt{2} \Rightarrow f' (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 2^{t} \ln 2 > 0 \forall t \geq \sqrt{2} \Rightarrow f (t) đ ồ n g b i ế n t r ê n (\sqrt{2}; + \infty) P T (1) c ó n g h i ệ m \Leftrightarrow f (t) = 0 c ó n g h i ệ m v à n g h i ệ m đ ó l à d u y n h ấ t D ễ t h ấ y t = 2 l à n g h i ệ m c ủ a (1) \Rightarrow \frac{1}{2 x} + x = 2 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 1 - 4 x = 0 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} v à x_{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} (T M Đ K (*)) \to x_{1} x_{2} = \frac{1}{2}$