Một con lắc lò xo gồm lò xo có chiều dài tự nhiên \({l_0} = 30\;{\rm{cm}}\). Kích thích cho con lắc  dao động điều hòa theo phương nằm ngang thì chiều dài cực đại của lò xo là 38 cm. Khoảng cách ngắn nhất  giữa hai vị trí mà động năng bằng n lần thế năng và thế năng bằng n lần động năng là 4 cm. Giá trị lớn nhất  của n gần với giá trị nào nhất sau đây?

Phương pháp: 

Biên độ của con lắc lò xo nằm ngang: \(A = {l_{\max }} - {l_0}\)

Động năng bằng n lần thế năng: W1 ${\mathrm{W}}_d=n{\mathrm{W}}_t\Rightarrow x=\mathrm{ }\pm \frac{A}{\sqrt{n+1}}$

Cách giải: 

Biên độ dao động của con lắc là: \(A = {l_{\max }} - {l_0} = 38 - 30 = 8(\;{\rm{cm}})\)

Tại vị trí động năng bằng n lần thế năng và vị trí thế năng bằng n lần động năng, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{W}}_d=n{\mathrm{W}}_t\Rightarrow x=\mathrm{ }\pm \frac{A}{\sqrt{n+1}}\\ {\mathrm{W}}_t=n{\mathrm{W}}_d\Rightarrow {\mathrm{W}}_d=\frac{1}{n}{\mathrm{W}}_t\end{array}\right.\begin{array}{c}\Rightarrow x=\mathrm{ }\pm \frac{A}{\sqrt{\frac{1}{n}+1}}=\pm \frac{A\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\end{array}$

Trường hợp 1: hai vị trí này ở cùng một phía so với vị trí cân bằng, khoảng cách giữa hai vị trí là:

$\mathrm{\Delta }{l}_1=\frac{A\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}-\frac{A}{\sqrt{n+1}}=\frac{A(\sqrt{n}\mathrm{ }-1)}{\sqrt{n+1}}$

 Trường hợp 2: hai vị trí này ở hai phía so với vị trí cân bằng khoảng cách giữa hai vị trí là:

$\mathrm{\Delta }{l}_2=\frac{A\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}+\frac{A}{\sqrt{n+1}}=\frac{A\cdot (\sqrt{n}\mathrm{ }+1)}{\sqrt{n+1}}$

 Nhận xét: $\sqrt{n}\mathrm{ }+1>\sqrt{n}\mathrm{ }-1\Rightarrow \mathrm{\Delta }{l}_2>\mathrm{\Delta }{l}_1\to$ khoảng cách ngắn nhất giữa hai vị trí này là:

$\mathrm{\Delta }{l}_1=\frac{A(\sqrt{n}\mathrm{ }-1)}{\sqrt{n+1}}=4\Rightarrow \frac{\sqrt{n}\mathrm{ }-1}{\sqrt{n+1}}=\frac{4}{A}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2(\sqrt{n}\mathrm{ }-1)=\sqrt{n+1}\mathrm{ }\Rightarrow 4n-8\sqrt{n}\mathrm{ }+4=n+1$

$\Rightarrow 3n+3=8\sqrt{n}\mathrm{ }\Rightarrow {(3n+3)}^2=64n$

Vậy giá trị lớn nhất của n gần nhất với 5

Chọn C.