Câu hỏi:

21/05/2022 2,366

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

A. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{36} .$

C. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

Đáp án chính xác

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. (ảnh 1)

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó ta có $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$

Từ giả thiết ta có

$S_{Δ A' A N} = \frac{1}{2} A A' . A N = \frac{1}{2} . a . \frac{a}{3} = \frac{a^{2}}{6}; S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{2} d (N, A' C') . A' C' = \frac{1}{2} . a . a = \frac{a^{2}}{2};$

$S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{2} A' B' . A' C' . s i n 60^{o} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Gọi H là trung điểm của $A C \Rightarrow B H ⊥ (A C C' A')$ và $B H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d (M, (A C C' A')) = \frac{1}{2} d (B, (A C C' A')) = \frac{1}{2} B H = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Khi đó ta có

$V_{M . A' A N} = \frac{1}{3} d (M; (A C C' A')) . S_{Δ A' A N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} .$

$\begin{array}{l} V_{M . A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} . \\ V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} . \end{array}$ Vậy $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Cách 2.

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’. Khi đó ta có

$V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$ .

Ta có $S_{A A' C' N} = \frac{1}{2} A A' (A N + A' C') = \frac{1}{2} a (\frac{a}{3} + a) = \frac{2 a^{2}}{3} .$

Suy ra $V_{M . A A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{A A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

$V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

Vậy $V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

Cách 3.

Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó, $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C'}$

Dễ thấy $M H / / B' C'$ nên AMH.A’B’C’ là khối chóp cụt.

Áp dụng công thức thể tích V₁ của khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S₀, S₁ thì ta có

$V_{1} = \frac{h}{3} (S_{0} + \sqrt{S_{0} S_{1}} + S_{1})$

Khi đó

$V_{A M H . A' B' C'} = \frac{A A'}{3} (S_{A M H} + \sqrt{S_{A M H} . S_{A' B' C'}} + S_{A' B' C'})$

$= \frac{a}{3} (\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}) = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48}$

Mặt khác, $V_{M . N H C'} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{N H C'} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{1}{2} . a . \frac{a}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144}$

Vậy $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C' .} = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Chọn C

Bình luận

Câu 1:

Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

A. 425162 lít.

B. 212581 lít.

C. 212,6 lít.

D. 425,2 lít.

Xem đáp án » 21/05/2022 6,998

Câu 2:

Một cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao 20cm, trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống nước được trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính 0,8cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

A. 26

B. 27

C. 28

D. 29

Xem đáp án » 21/05/2022 5,260

Câu 3:

Một người thợ được yêu cầu trang trí trên một bức tường hình vuông kích thước 5m x 5m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, tô kín màu lên hai tam giác đối diện bằng cách sử dụng hai màu xanh (phần chấm) và hồng (phần tô màu). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 6 lần. Tính số tiền mua sơn để người thợ đó hoàn thành công việc trang trí theo yêu cầu trên gần nhất với con số nào trong bốn đáp án dưới đây, biết tiền sơn màu xanh để sơn kín 1m² là 100000 đồng và tiền sơn màu hồng đắt gấp 1,5 so với tiền sơn màu xanh.

A. 1540000 đồng.

B. 1570000 đồng.

C. 1650000 đồng.

D. 1480000 đồng.

Xem đáp án » 22/05/2022 4,157

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

A. 14

B. 13

C. 12

D. 15

Xem đáp án » 21/05/2022 3,165

Câu 5:

Hai nhà khoa học Andre Geim và Konstantin Novoselov được trao giải Nobel có công trình phân lập graphene vào năm nào?

A. 2004

B. 2006

C. 2008

D. 2010

Xem đáp án » 21/05/2022 2,863

Câu 6:

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

A. $\frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

B. $\frac{2 a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{31}} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{31} .}$

Xem đáp án » 22/05/2022 2,760

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Hai nhà khoa học Andre Geim và Konstantin Novoselov được trao giải Nobel có công trình phân lập graphene vào năm nào?

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hàm số y=4−m6−x+36−x+m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Hai nhà khoa học Andre Geim và Konstantin Novoselov được trao giải Nobel có công trình phân lập graphene vào năm nào?

Cho tứ diện ABCD có ABC^=ADC^=BCD^=90o ,BC=2a,CD=a, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 60o . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD