Câu hỏi:

21/05/2022 2,625

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cách 1.

 
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. (ảnh 1)

 Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó ta có V=VM.A'AN+VM.A'C'N+VM.A'B'C' 

Từ giả thiết ta có

SΔA'AN=12AA'.AN=12.a.a3=a26;SΔA'C'N=12dN,A'C'.A'C'=12.a.a=a22; 

SΔA'B'C'=12A'B'.A'C'.sin60o=a234 

Gọi H là trung điểm của ACBHACC'A' BH=a32 

dM,ACC'A'=12dB,ACC'A'=12BH=a34. 

Khi đó ta có

VM.A'AN=13dM;ACC'A'.SΔA'AN=13.a34.a26=a3372.

VM.A'C'N=13dM,ACC'A'.SΔA'C'N=13.a34.a22=a3324.VM.A'B'C'=13dM,A'B'C'.SΔA'B'C'=13.a.a234=a3312. Vậy   V=VM.A'AN+VM.A'C'N+VM.A'B'C'=a3372+a3324+a3312=53a336

Cách 2.

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’. Khi đó ta có

V=VM.AA'C'N+VM.A'B'C' .

Ta có SAA'C'N=12AA'AN+A'C'=12aa3+a=2a23. 

Suy ra VM.AA'C'N=13dM,ACC'A'.SAA'C'N=13.a34.2a33=23a336 

VM.A'B'C'=13dM,A'B'C'.SΔA'B'C'=13.a.a234=a3312. 

Vậy V=VM.AA'C'N+VM.A'B'C'=23a336+a3312=53a336.

Cách 3.

Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó, V=VAMH.A'B'C'VM.NHC' 

Dễ thấy MH//B'C' nên AMH.A’B’C’ là khối chóp cụt.

Áp dụng công thức thể tích V1 của khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S0, S1 thì ta có

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. (ảnh 1)

V1=h3S0+S0S1+S1 

Khi đó

VAMH.A'B'C'=AA'3SAMH+SAMH.SA'B'C'+SA'B'C' 

=a314.a234+14.a234.a234+a234=7a3348 

Mặt khác, VM.NHC'=13dM,ACC'A'.SNHC'=13.a34.12.a.a6=a33144 

Vậy V=VAMH.A'B'C'VM.NHC'.=7a3348a33144=53a336 

Chọn C

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt mặt cắt qua trục của thùng rượu lên hệ trục tọa độ
Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm,  (ảnh 2)

Oxy như hình vẽ. Đơn vị tính là dm.

Gọi P:x=ay2+by+c qua A4;0,B3;5,C3;5

Thể tích của thùng rượu làa=125b=0c=4P:x=125y2+4

 V=π55125y2+42dy425,2dm3=425,2l

Chọn D

Lời giải

Thông tin tại dòng 7-8: “…đã làm để phân lập graphene … vào năm 2004. Sáu năm sau, họ đã giành được giải Nobel…”.

Chọn D

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP