Câu hỏi:

21/05/2022 3,755

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

A. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{36} .$

C. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. (ảnh 1)

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó ta có $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$

Từ giả thiết ta có

$S_{Δ A' A N} = \frac{1}{2} A A' . A N = \frac{1}{2} . a . \frac{a}{3} = \frac{a^{2}}{6}; S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{2} d (N, A' C') . A' C' = \frac{1}{2} . a . a = \frac{a^{2}}{2};$

$S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{2} A' B' . A' C' . s i n 60^{o} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Gọi H là trung điểm của $A C \Rightarrow B H ⊥ (A C C' A')$ và $B H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d (M, (A C C' A')) = \frac{1}{2} d (B, (A C C' A')) = \frac{1}{2} B H = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Khi đó ta có

$V_{M . A' A N} = \frac{1}{3} d (M; (A C C' A')) . S_{Δ A' A N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} .$

$\begin{array}{l} V_{M . A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} . \\ V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} . \end{array}$ Vậy $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Cách 2.

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’. Khi đó ta có

$V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$ .

Ta có $S_{A A' C' N} = \frac{1}{2} A A' (A N + A' C') = \frac{1}{2} a (\frac{a}{3} + a) = \frac{2 a^{2}}{3} .$

Suy ra $V_{M . A A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{A A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

$V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

Vậy $V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

Cách 3.

Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó, $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C'}$

Dễ thấy $M H / / B' C'$ nên AMH.A’B’C’ là khối chóp cụt.

Áp dụng công thức thể tích V₁ của khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S₀, S₁ thì ta có

$V_{1} = \frac{h}{3} (S_{0} + \sqrt{S_{0} S_{1}} + S_{1})$

Khi đó

$V_{A M H . A' B' C'} = \frac{A A'}{3} (S_{A M H} + \sqrt{S_{A M H} . S_{A' B' C'}} + S_{A' B' C'})$

$= \frac{a}{3} (\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}) = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48}$

Mặt khác, $V_{M . N H C'} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{N H C'} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{1}{2} . a . \frac{a}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144}$

Vậy $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C' .} = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Chọn C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng

40 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng phần Văn học - Ngôn ngữ (có đáp án) - Đề số 1

50 câu 655 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHSP Hà Nội 2

38 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội 2 môn Tiếng Anh có đáp án - Đề số 1

50 câu 271 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHSP TP.Hồ Chí Minh

35 người thi tuần này

Đề thi tham khảo ĐGNL Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh môn Ngữ văn có đáp án - Đề số 5

22 câu 155 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐH Khoa học và Công nghệ Hà Nội

22 người thi tuần này

Đề tham khảo ĐGNL ĐH Khoa học và Công nghệ Hà Nội 2025 môn Hóa học (có đáp án)

30 câu 22 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực V-SAT

53 người thi tuần này

Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 (Đề 1)

25 câu 479 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐH Bách Khoa

82 người thi tuần này

Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội 2026-2027 môn Vật lí (có đáp án) - Đề 5

14 câu 82 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh

69 người thi tuần này

(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 5)

120 câu 4.3 K lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội

47 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 41)

235 câu 602 lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

A. 425162 lít.

B. 212581 lít.

C. 212,6 lít.

D. 425,2 lít.

Lời giải

Đặt mặt cắt qua trục của thùng rượu lên hệ trục tọa độ

Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, (ảnh 2)

Oxy như hình vẽ. Đơn vị tính là dm.

Gọi $(P) : x = a y^{2} + b y + c$ qua $A (4; 0), B (3; 5), C (3; - 5)$

Thể tích của thùng rượu là $\Rightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{1}{25} \\ b = 0 \\ c = 4 \end{cases} \Rightarrow (P) : x = - \frac{1}{25} y^{2} + 4$

$V = π \int_{- 5}^{5} {(- \frac{1}{25} y^{2} + 4)}^{2} d y ≃ 425, 2 (d m^{3}) = 425, 2 (l)$

Chọn D

Câu 2

Hai nhà khoa học Andre Geim và Konstantin Novoselov được trao giải Nobel có công trình phân lập graphene vào năm nào?

A. 2004

B. 2006

C. 2008

D. 2010

Lời giải

Thông tin tại dòng 7-8: “…đã làm để phân lập graphene … vào năm 2004. Sáu năm sau, họ đã giành được giải Nobel…”.

Chọn D

Câu 3

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

A. $\frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

B. $\frac{2 a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{31}} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{31} .}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một người thợ được yêu cầu trang trí trên một bức tường hình vuông kích thước 5m x 5m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, tô kín màu lên hai tam giác đối diện bằng cách sử dụng hai màu xanh (phần chấm) và hồng (phần tô màu). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 6 lần. Tính số tiền mua sơn để người thợ đó hoàn thành công việc trang trí theo yêu cầu trên gần nhất với con số nào trong bốn đáp án dưới đây, biết tiền sơn màu xanh để sơn kín 1m² là 100000 đồng và tiền sơn màu hồng đắt gấp 1,5 so với tiền sơn màu xanh.

A. 1540000 đồng.

B. 1570000 đồng.

C. 1650000 đồng.

D. 1480000 đồng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao 20cm, trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống nước được trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính 0,8cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

A. 26

B. 27

C. 28

D. 29

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

A. 14

B. 13

C. 12

D. 15

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán