Cho tứ diện ABCD có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\widehat{BCD}={90}^o$ ,$BC=2a,CD=a,$  góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng ${60}^o$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Ta có $\widehat{BCD}={90}^o\left(3\right)$ 

Từ (1), (2), (3) nên tứ giác là hình chữ  nhật HBCD có $BC=HD=2a;HB=DC=a$ và $\widehat{\left(AB,\left(BCD\right)\right)}=\widehat{\left(AB,BH\right)}=\widehat{ABH}={60}^o$.

Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng $d\left(AC;BD\right)=d\left(BD,\left(AEC\right)\right)=d\left(B,\left(AEC\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(H,\left(AEC\right)\right)$ Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CE\perp HN\\ CE\perp AH,(doAH\perp \left(BCD\right))\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow CE\perp \left(AHN\right)\Rightarrow CE\perp HK$ và $AN\perp HK$ nên $HK\perp \left(AEC\right)$ 

Vậy $d\left(AC,BD\right)=\frac{1}{2}d\left(H,\left(ACE\right)\right)=\frac{1}{2}HK$ 

Trong $\Delta HEC$ có  $HE.BC=EC.HN\Rightarrow HN=\frac{HE.BC}{EC}=\frac{4a}{\sqrt{5}}.$

Trong $\Delta AHN$có  $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{A}^2}+\frac{1}{H{N}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{5}{16a^2}=\frac{31}{48a^2}\Rightarrow HK=\frac{4\sqrt{3}a}{\sqrt{31}}$

Vậy $d\left(AC,BD\right)=\frac{1}{2}HK=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{31}.}$ 

Chọn C