Câu hỏi:

22/05/2022 2,417

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

A. $\frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

B. $\frac{2 a \sqrt{6}}{\sqrt{31} .}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{31}} .$

Đáp án chính xác

D. $\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{31} .}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện ABCD có góc ABC = góc ADC =góc BCD =90 độ, BC=2a, CD=a, (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).

Do $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ A H, (d o A H ⊥ (B C D) \end{cases}$

$\Rightarrow B C ⊥ (A B H) \Rightarrow B C ⊥ B H (1)$

Tương tự $\{\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ A H, (d o A H ⊥ (B C D)) \end{cases}$

\Rightarrow C D ⊥ (A D H) \Rightarrow C D ⊥ D H (2)

Ta có $\hat{B C D} = 90^{o} (3)$

Từ (1), (2), (3) nên tứ giác là hình chữ nhật HBCD có $B C = H D = 2 a; H B = D C = a$ và $\hat{(A B, (B C D))} = \hat{(A B, B H)} = \hat{A B H} = 60^{o}$ .

Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng $d (A C; B D) = d (B D, (A E C)) = d (B, (A E C)) = \frac{1}{2} d (H, (A E C))$ Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.

Ta có $\{\begin{cases} C E ⊥ H N \\ C E ⊥ A H, (d o A H ⊥ (B C D)) \end{cases}$

$\Rightarrow C E ⊥ (A H N) \Rightarrow C E ⊥ H K$ và $A N ⊥ H K$ nên $H K ⊥ (A E C)$

Vậy $d (A C, B D) = \frac{1}{2} d (H, (A C E)) = \frac{1}{2} H K$

Trong $Δ H E C$ có $H E . B C = E C . H N \Rightarrow H N = \frac{H E . B C}{E C} = \frac{4 a}{\sqrt{5}} .$

Trong $Δ A H N$ có $\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H A^{2}} + \frac{1}{H N^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{5}{16 a^{2}} = \frac{31}{48 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{4 \sqrt{3} a}{\sqrt{31}}$

Vậy $d (A C, B D) = \frac{1}{2} H K = \frac{2 \sqrt{3} a}{\sqrt{31} .}$

Chọn C

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Một cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao 20cm, trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống nước được trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính 0,8cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

A. 26

B. 27

C. 28

D. 29

Xem đáp án » 21/05/2022 4,684

Câu 2:

Một người thợ được yêu cầu trang trí trên một bức tường hình vuông kích thước 5m x 5m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, tô kín màu lên hai tam giác đối diện bằng cách sử dụng hai màu xanh (phần chấm) và hồng (phần tô màu). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 6 lần. Tính số tiền mua sơn để người thợ đó hoàn thành công việc trang trí theo yêu cầu trên gần nhất với con số nào trong bốn đáp án dưới đây, biết tiền sơn màu xanh để sơn kín 1m² là 100000 đồng và tiền sơn màu hồng đắt gấp 1,5 so với tiền sơn màu xanh.

A. 1540000 đồng.

B. 1570000 đồng.

C. 1650000 đồng.

D. 1480000 đồng.

Xem đáp án » 22/05/2022 3,759

Câu 3:

Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

A. 425162 lít.

B. 212581 lít.

C. 212,6 lít.

D. 425,2 lít.

Xem đáp án » 21/05/2022 3,452

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

A. 14

B. 13

C. 12

D. 15

Xem đáp án » 21/05/2022 3,035

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 2$ . Giá trị lớn nhất của môđun số phức z là

A. $\sqrt{3}$

B. 3

C. 2

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án » 21/05/2022 2,154

Câu 6:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

A. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{36} .$

C. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

Xem đáp án » 21/05/2022 2,137

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 2$ . Giá trị lớn nhất của môđun số phức z là

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho tứ diện ABCD có ABC^=ADC^=BCD^=90o ,BC=2a,CD=a, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 60o . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=4−m6−x+36−x+m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Cho số phức z thỏa mãn −2−3i3−2iz+1=2 . Giá trị lớn nhất của môđun số phức z là

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{o}$ , $B C = 2 a, C D = a,$ góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Cho hàm số $y = \frac{(4 - m) \sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8;5)?

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 2$ . Giá trị lớn nhất của môđun số phức z là