Câu hỏi:

25/05/2022 344

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ và $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $Δ$ . Gọi $Δ^{'}$ là hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng $Δ^{'}$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm $I (a; b; c)$ thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2}$ .

A. P=56

B. P=9

C. P=41

D. P=73

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; - m; 1)$ , và mặt phẳng $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (m; 1; - m)$ .

Ta có $M (- 3 m + \frac{4}{m} - 3; 0; - 3 m - \frac{4}{m}) \in Δ = (α) \cap (β)$ .

Do đó $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (m^{2} - 1; 2 m; m^{2} + 1)$ .

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ$ và vuông góc với mặt phẳng $(O x y)$ . Khi đó $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}; \vec{k}] = (2 m; 1 - m^{2}; 0)$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là : $2 m x + (1 - m^{2}) y + 6 m^{2} + 6 m - 8 =$ 0.

Vì $I (a; b; c) \in (O x y)$ nên I(a;b;0).

Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d (I; (P)) = R$

$\Leftrightarrow \frac{|2 m a + (1 - m^{2}) b + 6 m^{2} + 6 m - 8|}{\sqrt{4 m^{2} + {(1 - m^{2})}^{2}}} = R > 0$

$\Leftrightarrow \frac{|2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8|}{m^{2} + 1} = R > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8 = R (m^{2} + 1) \\ 2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8 = - R (m^{2} + 1) \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 (a + 3) = 0 \\ 6 - b = R \\ b - 8 = R \\ R > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 (a + 3) = 0 \\ 6 - b = - R \\ b - 8 = - R \\ R > 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = - 3 \\ 6 - b = b - 8 \\ R = 6 - b > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - 3 = 0 \\ 6 - b = b - 8 \\ - R = 6 - b < 0 \end{cases} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 7 \end{cases}$ .

Vậy I(-3;7;0), do đó $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2} = 41$ .

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v (t) = \frac{1}{150} t^{2} + \frac{59}{75} t (m/s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s²) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

A. 20 (m/s).

B. 16 (m/s).

C. 13 (m/s).

D. 15 (m/s).

Lời giải

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 12 giây.

+) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng $v_{B} (t) = \int a d t = a t + C$ , lại có $v_{B} (0) = 0$ nên $v_{B} (t) = a t$ .

+) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó

$\int_{0}^{15} (\frac{1}{150} t^{2} + \frac{59}{75} t) d t = \int_{0}^{12} a t d t \Leftrightarrow 96 = 72 a \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$ .

Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng $v_{B} (12) = \frac{4}{3} .12 = 16 (m / s)$ .

Chọn B

Câu 2

Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

A. 1260

B. 40320

C. 120

D. 1728

Lời giải

Cách 1. Dùng tổ hợp

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có $C_{9}^{2}$ cách.

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có $C_{7}^{3}$ cách.

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có $C_{4}^{4}$ cách.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{9}^{2} C_{7}^{3} C_{4}^{4} = 1260$ số.

Cách 2. Dùng hoán vị lặp

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\frac{9!}{2! 3! 4!} = 1260$ số.

Chọn A

Câu 3

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

A. 210

B. 39

C. 100

D. 270

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một người mua một căn hộ chung cư với giá 500 triệu đồng. Người đó trả trước số tiền là 100 triệu đồng, số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng số tiền còn nợ là 0,5% mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau đúng mỗi tháng người đó trả số tiền cố định là 4 triệu đồng. Thời gian để người đó trả hết nợ là

A. 136 tháng.

B. 140 tháng.

C. 139 tháng.

D. 133 tháng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2}, n \in ℕ^{*} \end{cases}$ . Tính $u_{21}$ .

A. $u_{21} = 3080$

B. $u_{21} = 3312$

C. $u_{21} = 2871$

D. $u_{21} = 3011$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a, $\hat{B A C} = 60 °$ và $S A = a \sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng

A. $30^{o} .$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $90^{o}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (1; 2; 1)$ , $\vec{b} = (- 1; 1; 2)$ , $\vec{c} = (x; 3 x; x + 2)$ . Nếu 3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì x bằng

A. 2

B. 1

C. -2

D. -1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Cho dãy số un với u1=1un+1=un+n2,n∈ℕ* . Tính u21 .

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a, BAC^=60° và SA=a2 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng

Trong không gian Oxyz, cho a→=1;2;1 , b→=−1;1;2 , c→=x;3x;x+2 . Nếu 3 vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì x bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho dãy số $(u_{n})$ với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2}, n \in ℕ^{*} \end{cases}$ . Tính $u_{21}$ .

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a, $\hat{B A C} = 60 °$ và $S A = a \sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (1; 2; 1)$ , $\vec{b} = (- 1; 1; 2)$ , $\vec{c} = (x; 3 x; x + 2)$ . Nếu 3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì x bằng