Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real Madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1, 2, 3, 4 với xác suất như nhau. Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay người cùng vào vị trí 1 hoặc 2 thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 hoặc 4 thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?

Cách 1. Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=4.4=16$

Gọi biến cố A = “Cú sút đó không vào lưới”. Khi đó biến cố  = “Cú sút đó vào lưới”.

Số phần tử của $n\left(\overline{A}\right)$ là

Trường hợp 1. cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 2. cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 3. Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 4. Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 5. Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra.

Trường hợp 6. cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra.

Khi đó $n\left(\overline{A}\right)=4.3+2.1=14$. Xác suất xảy ra biến cố $\overline{A}$ là $p\left(\overline{A}\right)=\frac{4.3}{16}+\frac{2.1}{16}.\frac{1}{2}=\frac{13}{16}$.

Vậy $p\left(A\right)=1-p\left(\overline{A}\right)=1-\frac{13}{16}=\frac{3}{16}$.

Cách 2. Gọi  là biến cố “cầu thủ sút phạt vào vị trí i”;

$B_i$ là biến cố “thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ i”.

Và C là biến cố “Cú sút phạt không vào lưới”. Dễ thấy, $P\left(A_i\right)=P\left(B_i\right)=\frac{1}{4}$.

Ta có $P\left(C\right)=P\left(A_1\right)P\left(B_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)+\frac{1}{2}P\left(A_3\right)P\left(B_3\right)+\frac{1}{2}P\left(A_4\right)P\left(B_4\right)$

$={\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{3}{16}$.

Chọn B