Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4 bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x  có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{x.e^x}$

Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x; $y = \frac{1-x}{x}$; y = 0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}$; $x = \frac{1}{2}$; $x=2$ và trục hoành. Đường thẳng $x=k \left(\frac{1}{2}<k<2\right)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là S₁ và S₂ như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_1 = 3S_2$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y^2 = 2x$, cung tròn có phương trình $y= \sqrt{8-x^2}$ $( 0<x<2\sqrt{2 } )$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho $I\left(m\right) = {\int }_0^m\frac{1}{x^2+3x+2}dx$ Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để $e^{I\left(m\right)}< \frac{99}{50}$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn ${\int }_0^1{e}^{x}f\left(x\right)dx = {\int }_0^1{e}^{x}f\text{'}\left(x\right)dx ={\int }_0^1{e}^{x}f\text{'}\text{'}\left(x\right)dx \ne 0$. Giá trị của biểu thức $\frac{ef\text{'}\left(1\right) - f\text{'}\left(0\right)}{ef\left(1\right) - f\left(0\right)}$ bằng

Cho ${\int }_1^{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx = a-\sqrt{b}+ \ln \frac{c+\sqrt{d}}{\sqrt{e}}$ với c nguyên dương và a,b,d,e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a+b+c+d+e bằng