Cho ΔABC cân tại A kẻ AH\[ \bot \]BC (H\[ \in \]BC).

a) Chứng minh: HB = HC.

b) Kẻ HD\[ \bot \]AB (D\[ \in \]AB), HE\[ \bot \]AC (E\[ \in \]AC). Chứng minh ΔHDE cân.

c) Cho \(\widehat {BAC} = {120^o}\) thì ΔHDE trở thành tam giác gì? Vì sao?

a) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao (vì AH\[ \bot \]BC) nên AH cũng là đường trung tuyến.

Do đó HB = HC.

b) Xét ΔBDH vuông tại D và ΔCEH vuông tại E có:

HB = HC (cmt)

\(\widehat B = \widehat C\) (ΔABC cân tại A)

Do đó ΔBDH = ΔCEH (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra DH = HE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra ΔHDE cân tại H.

Mặt khác, vì \(\widehat A = {120^o}\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{1}{2}\,.\,({180^o} - \widehat A) = \frac{1}{2}\,.\,{60^o} = {30^o}\).

Từ ΔBDH = ΔCEH (cmt) suy ra \(\widehat {BHD} = \widehat {CHE}\) (hai góc tương ứng).

Xét ΔBDH vuông tại D nên \(\widehat B + \widehat {BHD} = {90^o} \Rightarrow \widehat {BHD} = {90^o} - \widehat B = {60^o}\).

Do đó \(\widehat {BHD} = \widehat {CHE} = {60^o}\)

Ta có:\(\widehat {BHC} = \widehat {BHD} + \widehat {DHE} + \widehat {EHC}\)

Suy ra \(\widehat {DHE} = \widehat {BHC} - \left( {\widehat {BHD} + \widehat {CHE}} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = {180^o} - ({60^o} + {60^o}) = {60^o}\).

Ta thấy ΔHED cân tại H có \(\widehat {AHE} = {60^o}\)nên ΔHED là tam giác đều.