Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AC, cắt đường thẳng AM tại điểm D.

a) Chứng minh $\Delta AMC=\Delta DMB.$

b) Chứng minh AB = BD.

c) Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AB, đoạn thẳng PD cắt đoạn thẳng BC tại điểm O. Trên tia đối của tia PO lấy điểm N sao cho PN = PO. Chứng minh điểm O là trọng tâm của $\Delta AB\text{D}$ và NA = 2OM.

a) $\Delta ABC$ cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của $\Delta ABC$.

Do đó $A\text{D}\perp BC$.

Do BD // AC nên $\widehat{MB\text{D}}=\widehat{MCA}$ (2 góc so le trong).

Xét $\Delta AMC$ vuông tại M và $\Delta DMB$ vuông tại M có:

$\widehat{MCA}=\widehat{MBD}$ (chứng minh trên).

MB = MC (theo giả thiết).

$\Rightarrow \Delta AMC=\Delta DMB$ (góc nhọn - cạnh góc vuông)

b) Do $\Delta AMC=\Delta DMB$ (góc nhọn - cạnh góc vuông) nên MA = MD (2 cạnh tương ướng).

Do đó M là trung điểm của AD.

$\Delta AB\text{D}$ có M là trung điểm của AD, lại có $BM\perp A\text{D}$ nên $\Delta AB\text{D}$ cân tại B.

c) Xét $\Delta AB\text{D}$ có BM, DP là các đường trung tuyến cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của $\Delta AB\text{D}$.

Xét $\Delta APN$ và $\Delta BPO$ có:

AP = BP (theo giả thiết).

$\widehat{APN}=\widehat{BPO}$ (2 góc đối đỉnh).

PN = PO (theo giả thiết).

$\Rightarrow \Delta APN=\Delta BPO$ (c - g - c).

$\Rightarrow$ NA = BO (2 cạnh tương ứng).

Do O là trọng tâm của $\Delta AB\text{D}$ nên BO = $\frac{2}{3}$BM; OM = $\frac{1}{3}$BM.

Do đó BO = 2OM.

Mà NA = BO nên NA = 2OM.

Vậy O là trọng tâm của $\Delta AB\text{D}$ và NA = 2OM.