Câu hỏi:

13/07/2024 1,011

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm O đến các đường thẳng BC,CA,AB lần lượt là \(a,a\sqrt 2 ,a\sqrt 3 \). Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) là \(\frac{{2a\sqrt m }}{{11}}\). Tìm m.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Trả lời:

 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm O đến các đường thẳng BC,CA,AB lần lượt là  (ảnh 1)

Bước 1: Kẻ \[OM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right),ON \bot AB\,\,\left( {N \in AB} \right),OP \bot BC\,\,\left( {P \in BC} \right)\]

Kẻ\[OM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right),ON \bot AB\,\,\left( {N \in AB} \right),OP \bot BC\,\,\left( {P \in BC} \right)\]

Khi đó ta có \[OP = a,\,\,OM = a\sqrt 2 ,\,\,ON = a\sqrt 3 \]

Bước 2: Trong (OCN) kẻ \[OH \bot CN\,\,\left( {H \in CN} \right)\] chứng minh\[OH \bot \left( {ABC} \right)\]

Trong (OCN) kẻ\[OH \bot CN\,\,\left( {H \in CN} \right)\] ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot ON}\\{AB \bot OC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (OCN) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AB}\\{OH \bot CN}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot (ABC) \Rightarrow d(O;(ABC)) = OH\end{array}\)

Bước 3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\]

Lại có

\[\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}};\frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}};\frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}} = 2\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}}} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) = \frac{{11}}{{12{a^2}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{11}}{{12{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\end{array}\]

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)

Vậy m=33.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình lập phương ABCD,A′B′C′D′ có cạnh bằng 3a. Khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABCD) bằng

Xem đáp án » 27/06/2022 5,874

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Xem đáp án » 27/06/2022 1,953

Câu 3:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng (ảnh 1)

Xem đáp án » 13/07/2024 1,548

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).

Xem đáp án » 27/06/2022 1,529

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

Xem đáp án » 27/06/2022 1,508

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc \({60^ \circ }\)Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Xem đáp án » 27/06/2022 1,444

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^ \circ }\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).

Xem đáp án » 27/06/2022 1,382

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store