Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng.

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,{{11}^x} + m = {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = x - m + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{11}^x} + x = {{11}^{{{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}} + {{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Xét hàm số\[f\left( t \right) = {11^t} + t \Rightarrow y' = {11^t}.\ln 11 + 1 > 0\,\,\,\forall t\] Khi đó hàm số\[y = f\left( t \right)\] đồng biến trên\(\mathbb{R}\)

Do đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow x = {\log _{11}}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {11^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {11^x}\]

Bước 2: Khảo sát hàm số\[g(x) = x - {11^x}\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = x - {11^x}\] ta có

\[g'\left( x \right) = 1 - {11^x}.\ln 11 = 0 \Rightarrow x = {\log _{11}}\frac{1}{{\ln 11}} = {x_0}\]

Bảng biến thiên:

Bước 3: Biện luận nghiệm theo m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì\[m < g\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,78\]

Kết hợp điều kiện đề bài ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 205 < m \le - 1}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)

Vậy có 204 giá trị của nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Ta có:\[\;\int\limits_0^2 {(t - lo{g_2}x)dt} = \left( {\frac{{{t^2}}}{2} - lo{g_2}x.t} \right)\left| {_0^2} \right. = 2 - 2lo{g_2}x\]

Phương trình:\[2 - 2{\log _2}x = 2{\log _2}\frac{2}{x}\]  có điều kiện là x>0

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{2}{x} + {\log _2}x = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{2}{x}.x} \right) = 1\] (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của phương trình là\[(0; + \infty )\]

Đáp án cần chọn là: A